Номер 5, страница 89 - гдз по физике 9 класс тетрадь-тренажёр Артеменков, Белага

VII. Звук. Решаем задачи - номер 5, страница 89.

Условие.

5. Определите глубину колодца, если звук от падения брошенного в него камня дошёл до наблюдателя через 4 с после броска. Начальная скорость камня равна нулю. Скорость звука в воздухе примите равной 340 м/с.

Решение.

Дано:

Общее время: $t_{общ} = 4$ с

Начальная скорость камня: $v_0 = 0$ м/с

Скорость звука в воздухе: $v_{зв} = 340$ м/с

Ускорение свободного падения: $g \approx 9.8$ м/с²

Все данные представлены в системе СИ.

Найти:

Глубину колодца: $\text{h}$

Решение:

Общее время $t_{общ}$, прошедшее с момента броска камня до момента, когда наблюдатель услышал звук его падения, складывается из двух промежутков времени: времени падения камня на дно колодца ($t_1$) и времени, за которое звук от удара достигнет наблюдателя ($t_2$).

$t_{общ} = t_1 + t_2$

1. Найдем время падения камня $t_1$.

Камень совершает свободное падение, то есть движется равноускоренно с ускорением $\text{g}$. Начальная скорость камня $v_0 = 0$. Глубина колодца $\text{h}$ связана со временем падения $t_1$ следующей формулой:

$h = v_0 t_1 + \frac{gt_1^2}{2}$

Поскольку $v_0 = 0$, формула упрощается:

$h = \frac{gt_1^2}{2}$

Из этой формулы выразим время падения камня $t_1$:

$t_1 = \sqrt{\frac{2h}{g}}$

2. Найдем время распространения звука $t_2$.

Звук распространяется в воздухе с постоянной скоростью $v_{зв}$. Время $t_2$, за которое звук проходит расстояние, равное глубине колодца $\text{h}$, вычисляется по формуле:

$t_2 = \frac{h}{v_{зв}}$

3. Составим и решим уравнение.

Подставим полученные выражения для $t_1$ и $t_2$ в формулу для общего времени:

$t_{общ} = \sqrt{\frac{2h}{g}} + \frac{h}{v_{зв}}$

Теперь подставим в это уравнение известные числовые значения из условия задачи:

$4 = \sqrt{\frac{2h}{9.8}} + \frac{h}{340}$

Получилось уравнение с одной неизвестной $\text{h}$. Чтобы его решить, введем замену переменной. Пусть $x = \sqrt{h}$, тогда $h = x^2$. Уравнение примет вид:

$4 = \sqrt{\frac{2}{9.8}}x + \frac{1}{340}x^2$

Перепишем его в стандартном виде квадратного уравнения $ax^2 + bx + c = 0$:

$\frac{1}{340}x^2 + \sqrt{\frac{2}{9.8}}x - 4 = 0$

Решим это уравнение, используя формулу для корней квадратного уравнения: $x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$. Поскольку $\text{x}$ представляет собой $\sqrt{h}$, он должен быть положительным, поэтому мы используем знак «+» перед корнем.

$a = \frac{1}{340}$, $b = \sqrt{\frac{2}{9.8}}$, $c = -4$

$x = \frac{-\sqrt{\frac{2}{9.8}} + \sqrt{(\sqrt{\frac{2}{9.8}})^2 - 4 \cdot \frac{1}{340} \cdot (-4)}}{2 \cdot \frac{1}{340}}$

$x = \frac{-\sqrt{\frac{2}{9.8}} + \sqrt{\frac{2}{9.8} + \frac{16}{340}}}{2/340}$

Проведем вычисления:

$\sqrt{\frac{2}{9.8}} \approx \sqrt{0.20408} \approx 0.45175$

$\frac{16}{340} \approx 0.04706$

$x \approx \frac{-0.45175 + \sqrt{0.20408 + 0.04706}}{2/340} = \frac{-0.45175 + \sqrt{0.25114}}{1/170}$

$x \approx \frac{-0.45175 + 0.50114}{1/170} = \frac{0.04939}{1/170} = 0.04939 \cdot 170 \approx 8.396$

Теперь, зная $\text{x}$, можем найти глубину колодца $\text{h}$:

$h = x^2 \approx (8.396)^2 \approx 70.49$ м

Округлим результат до одного знака после запятой.

Ответ: глубина колодца составляет примерно 70,5 м.