Номер 3, страница 103, часть 1 - гдз по физике 9 класс учебник Белага, Воронцова

Часть 1. Глава 2. Основы динамики. Параграф 23. Сила упругости. Закон Гука. Вопросы и задания - номер 3, страница 103.

Условие.

3. Как вычислить эффективную жёсткость системы последовательно или параллельно соединённых пружин?

Решение.

Эффективная (или общая) жёсткость системы пружин вычисляется по-разному в зависимости от способа их соединения. Существует два основных типа соединения: последовательное и параллельное.

Последовательное соединение пружин

При последовательном соединении пружины соединены одна за другой, образуя единую цепь. При растяжении или сжатии такой системы через каждую пружину проходит одна и та же сила.

Дано:

Система из $\text{n}$ пружин, соединенных последовательно. Жёсткость каждой пружины: $k_1, k_2, ..., k_n$.

Найти:

Эффективную жёсткость системы $k_{посл}$.

Решение:

Пусть к системе приложена внешняя сила $\text{F}$. При последовательном соединении эта сила передается на каждую пружину, поэтому сила упругости, возникающая в каждой пружине, одинакова и равна $\text{F}$:

$F_1 = F_2 = ... = F_n = F$

Общее удлинение системы $\Delta x_{общ}$ равно сумме удлинений каждой отдельной пружины:

$\Delta x_{общ} = \Delta x_1 + \Delta x_2 + ... + \Delta x_n = \sum_{i=1}^{n} \Delta x_i$

Согласно закону Гука, $F = k \Delta x$. Выразим удлинение каждой пружины: $\Delta x_i = F / k_i$.

Подставим эти выражения в формулу для общего удлинения:

$\Delta x_{общ} = \frac{F}{k_1} + \frac{F}{k_2} + ... + \frac{F}{k_n} = F \cdot (\frac{1}{k_1} + \frac{1}{k_2} + ... + \frac{1}{k_n})$

Эффективная жёсткость системы $k_{посл}$ определяется соотношением $F = k_{посл} \cdot \Delta x_{общ}$, откуда $\Delta x_{общ} = F / k_{посл}$.

Приравняем два полученных выражения для $\Delta x_{общ}$:

$\frac{F}{k_{посл}} = F \cdot (\frac{1}{k_1} + \frac{1}{k_2} + ... + \frac{1}{k_n})$

Сократив силу $\text{F}$, получим итоговую формулу:

$\frac{1}{k_{посл}} = \frac{1}{k_1} + \frac{1}{k_2} + ... + \frac{1}{k_n}$

Ответ: При последовательном соединении пружин величина, обратная эффективной жёсткости, равна сумме обратных величин жёсткостей отдельных пружин: $\frac{1}{k_{посл}} = \sum_{i=1}^{n} \frac{1}{k_i}$.

Параллельное соединение пружин

При параллельном соединении пружины крепятся между двумя общими точками (или телами) так, что их удлинение или сжатие всегда одинаково.

Дано:

Система из $\text{n}$ пружин, соединенных параллельно. Жёсткость каждой пружины: $k_1, k_2, ..., k_n$.

Найти:

Эффективную жёсткость системы $k_{пар}$.

Решение:

При параллельном соединении деформация (удлинение или сжатие) всех пружин одинакова и равна общей деформации системы $\Delta x$:

$\Delta x_1 = \Delta x_2 = ... = \Delta x_n = \Delta x$

Общая сила упругости $F_{общ}$, которую создает система, равна сумме сил упругости, возникающих в каждой пружине:

$F_{общ} = F_1 + F_2 + ... + F_n = \sum_{i=1}^{n} F_i$

По закону Гука, сила упругости для каждой пружины равна $F_i = k_i \cdot \Delta x$.

Подставим эти выражения в формулу для общей силы:

$F_{общ} = k_1 \Delta x + k_2 \Delta x + ... + k_n \Delta x = (k_1 + k_2 + ... + k_n) \cdot \Delta x$

Эффективная жёсткость системы $k_{пар}$ определяется соотношением $F_{общ} = k_{пар} \cdot \Delta x$.

Приравняем два полученных выражения для $F_{общ}$:

$k_{пар} \cdot \Delta x = (k_1 + k_2 + ... + k_n) \cdot \Delta x$

Сократив удлинение $\Delta x$, получим итоговую формулу:

$k_{пар} = k_1 + k_2 + ... + k_n$

Ответ: При параллельном соединении пружин эффективная жёсткость системы равна сумме жёсткостей отдельных пружин: $k_{пар} = \sum_{i=1}^{n} k_i$.