Номер 3, страница 99, часть 1 - гдз по физике 9 класс учебник Белага, Воронцова

Часть 1. Глава 2. Основы динамики. Параграф 22. Гравитация и Вселенная - номер 3, страница 99.

Условие.

3. Существует ли такая точка между Землёй и Луной, в которой гравитационная сила, действующая на тело, равна нулю?

Решение.

Да, такая точка существует. Рассмотрим тело массой $\text{m}$, расположенное на прямой, соединяющей центры Земли и Луны, на расстоянии $\text{x}$ от центра Земли.

На это тело действуют две гравитационные силы, направленные в противоположные стороны:

1. Сила притяжения со стороны Земли ($F_З$).
2. Сила притяжения со стороны Луны ($F_Л$).

Так как масса Земли значительно больше массы Луны, точка, в которой эти силы уравновесят друг друга, будет находиться значительно ближе к Луне, чем к Земле.

Для нахождения этой точки воспользуемся законом всемирного тяготения.

Дано:

$M_З$ — масса Земли ($ \approx 5.972 \times 10^{24}$ кг)

$M_Л$ — масса Луны ($ \approx 7.342 \times 10^{22}$ кг)

$\text{R}$ — расстояние между центрами Земли и Луны ($ \approx 3.844 \times 10^{8}$ м)

$\text{m}$ — масса пробного тела

$\text{G}$ — гравитационная постоянная ($ \approx 6.674 \times 10^{-11} \frac{Н \cdot м^2}{кг^2}$)

$\text{x}$ — расстояние от центра Земли до точки, где сила равна нулю

Найти:

Расстояние $\text{x}$.

Решение:

Согласно закону всемирного тяготения, сила притяжения тела к Земле равна:

$F_З = G \frac{M_З \cdot m}{x^2}$

Расстояние от тела до центра Луны будет равно $R - x$. Сила притяжения тела к Луне равна:

$F_Л = G \frac{M_Л \cdot m}{(R - x)^2}$

Результирующая гравитационная сила будет равна нулю, если модули этих сил равны:

$F_З = F_Л$

$G \frac{M_З \cdot m}{x^2} = G \frac{M_Л \cdot m}{(R - x)^2}$

Сократим $\text{G}$ и $\text{m}$ в обеих частях уравнения:

$\frac{M_З}{x^2} = \frac{M_Л}{(R - x)^2}$

Преобразуем выражение, чтобы извлечь квадратный корень:

$\frac{(R - x)^2}{x^2} = \frac{M_Л}{M_З}$

$\frac{R - x}{x} = \sqrt{\frac{M_Л}{M_З}}$

Разделим левую часть почленно:

$\frac{R}{x} - 1 = \sqrt{\frac{M_Л}{M_З}}$

Выразим $\text{x}$:

$\frac{R}{x} = 1 + \sqrt{\frac{M_Л}{M_З}}$

$x = \frac{R}{1 + \sqrt{\frac{M_Л}{M_З}}}$

Так как все величины в правой части ($R, M_Л, M_З$) являются положительными и действительными, то для $\text{x}$ существует единственное реальное решение. Масса Земли примерно в 81 раз больше массы Луны, поэтому $\sqrt{\frac{M_Л}{M_З}} \approx \sqrt{\frac{1}{81}} = \frac{1}{9}$.

Тогда $x \approx \frac{R}{1 + 1/9} = \frac{R}{10/9} = 0.9R$.

Это означает, что точка равновесия находится на расстоянии примерно 9/10 пути от Земли к Луне. Так как $0 < x < R$, эта точка действительно находится между Землёй и Луной. Эта точка называется точкой Лагранжа L1.

Ответ: Да, такая точка существует. В этой точке сила гравитационного притяжения к более массивной, но более удаленной Земле, уравновешивается силой притяжения к менее массивной, но более близкой Луне.