Номер 4, страница 95, часть 1 - гдз по физике 9 класс учебник Белага, Воронцова

Часть 1. Глава 2. Основы динамики. Параграф 21. Движение искусственных спутников Земли. Вопросы и задания - номер 4, страница 95.

Условие.

4. Спутник движется по круговой орбите вблизи поверхности шарообразной планеты. Какая физическая характеристика планеты определяет период обращения этого спутника по орбите?

Решение.

Дано:

Спутник движется по круговой орбите вблизи поверхности шарообразной планеты.

Радиус орбиты спутника $\text{r}$ примерно равен радиусу планеты $R_п$: $r \approx R_п$.

Найти:

Физическую характеристику планеты, которая определяет период обращения $\text{T}$ этого спутника.

Решение:

Движение спутника по круговой орбите происходит под действием силы всемирного тяготения, которая сообщает ему центростремительное ускорение. Согласно второму закону Ньютона, сила тяготения $F_г$ равна произведению массы спутника $\text{m}$ на его центростремительное ускорение $a_ц$:

$F_г = m a_ц$

Сила тяготения определяется законом всемирного тяготения:

$F_г = G \frac{M m}{r^2}$

где $\text{M}$ – масса планеты, $\text{m}$ – масса спутника, $\text{r}$ – радиус орбиты, $\text{G}$ – гравитационная постоянная.

Центростремительное ускорение при движении по окружности со скоростью $\text{v}$ равно:

$a_ц = \frac{v^2}{r}$

Приравняем выражения для силы:

$G \frac{M m}{r^2} = m \frac{v^2}{r}$

Отсюда можно найти скорость спутника:

$v = \sqrt{\frac{G M}{r}}$

Период обращения $\text{T}$ – это время, за которое спутник совершает один полный оборот. Он связан со скоростью и радиусом орбиты формулой:

$T = \frac{2 \pi r}{v}$

Подставим в эту формулу выражение для скорости $\text{v}$:

$T = \frac{2 \pi r}{\sqrt{\frac{G M}{r}}} = 2 \pi \sqrt{\frac{r^2 \cdot r}{G M}} = 2 \pi \sqrt{\frac{r^3}{G M}}$

По условию задачи, спутник движется вблизи поверхности планеты, поэтому радиус орбиты $\text{r}$ можно считать равным радиусу планеты $R_п$. Массу планеты $\text{M}$ можно выразить через её среднюю плотность $\rho$ и объём $V = \frac{4}{3}\pi R_п^3$ (объём шара):

$M = \rho V = \rho \frac{4}{3}\pi R_п^3$

Подставим $r = R_п$ и выражение для массы $\text{M}$ в формулу для периода:

$T = 2 \pi \sqrt{\frac{R_п^3}{G \cdot (\rho \frac{4}{3}\pi R_п^3)}} = 2 \pi \sqrt{\frac{R_п^3}{G \rho \frac{4}{3}\pi R_п^3}}$

Сократим $R_п^3$ в числителе и знаменателе подкоренного выражения:

$T = 2 \pi \sqrt{\frac{1}{G \rho \frac{4}{3}\pi}} = \sqrt{\frac{4 \pi^2 \cdot 3}{G \rho 4 \pi}} = \sqrt{\frac{3 \pi}{G \rho}}$

Из полученной формулы видно, что период обращения спутника на низкой орбите зависит только от универсальной гравитационной постоянной $\text{G}$ и средней плотности планеты $\rho$. Следовательно, искомой физической характеристикой планеты является её средняя плотность.

Ответ: Средняя плотность.