Номер 4, страница 99, часть 1 - гдз по физике 9 класс учебник Белага, Воронцова

Часть 1. Глава 2. Основы динамики. Параграф 22. Гравитация и Вселенная - номер 4, страница 99.

Условие.

4. Как показывает расчёт, Солнце притягивает Луну почти в 2 раза сильнее, чем Земля. Почему Луна остаётся при этом спутником Земли, а не самостоятельной планетой?

Решение.

Вопрос заключается в том, почему Луна обращается вокруг Земли, а не улетает от нее под действием более сильного притяжения Солнца. Ключ к ответу лежит в рассмотрении не абсолютных сил, а сил, определяющих относительное движение тел. И Луна, и Земля вместе обращаются вокруг Солнца.

Для начала, подтвердим расчетом, что сила притяжения Луны к Солнцу действительно больше, чем к Земле.

Дано

Масса Солнца, $M_С \approx 1.99 \cdot 10^{30}$ кг
Масса Земли, $M_З \approx 5.97 \cdot 10^{24}$ кг
Масса Луны, $m_Л \approx 7.35 \cdot 10^{22}$ кг
Среднее расстояние от Земли до Луны, $r_{ЗЛ} \approx 3.84 \cdot 10^8$ м
Среднее расстояние от Солнца до системы Земля-Луна, $R_{СЛ} \approx 1.50 \cdot 10^{11}$ м
Гравитационная постоянная, $G \approx 6.674 \cdot 10^{-11} \frac{Н \cdot м^2}{кг^2}$

Найти:

Отношение силы притяжения Луны к Солнцу ($F_{СЛ}$) к силе притяжения Луны к Земле ($F_{ЗЛ}$).

Решение

Сила гравитационного притяжения между двумя телами определяется законом всемирного тяготения: $F = G \frac{m_1 m_2}{r^2}$.

Сила притяжения Луны к Солнцу: $F_{СЛ} = G \frac{M_С \cdot m_Л}{R_{СЛ}^2}$.

Сила притяжения Луны к Земле: $F_{ЗЛ} = G \frac{M_З \cdot m_Л}{r_{ЗЛ}^2}$.

Найдем их отношение: $ \frac{F_{СЛ}}{F_{ЗЛ}} = \frac{G \frac{M_С \cdot m_Л}{R_{СЛ}^2}}{G \frac{M_З \cdot m_Л}{r_{ЗЛ}^2}} = \frac{M_С}{M_З} \cdot \left(\frac{r_{ЗЛ}}{R_{СЛ}}\right)^2 $

Подставим числовые значения: $ \frac{F_{СЛ}}{F_{ЗЛ}} = \frac{1.99 \cdot 10^{30}}{5.97 \cdot 10^{24}} \cdot \left(\frac{3.84 \cdot 10^8}{1.50 \cdot 10^{11}}\right)^2 \approx 3.33 \cdot 10^5 \cdot (2.56 \cdot 10^{-3})^2 \approx 3.33 \cdot 10^5 \cdot 6.55 \cdot 10^{-6} \approx 2.18 $

Таким образом, Солнце действительно притягивает Луну примерно в 2.2 раза сильнее, чем Земля.

Так почему же Луна не становится самостоятельной планетой? Причина в том, что огромное гравитационное поле Солнца действует практически одинаково как на Луну, так и на Землю, заставляя их вместе двигаться по орбите вокруг Солнца.

Чтобы Луна оставалась спутником Земли, сила притяжения Земли должна быть достаточной, чтобы удерживать Луну на орбите относительно Земли. Это означает, что ускорение, сообщаемое Землей Луне ($a_{ЗЛ}$), должно быть больше, чем разница в ускорениях, сообщаемых Солнцем Земле и Луне. Эта разница в ускорениях (создающая приливные силы) и пытается "оторвать" Луну от Земли.

1. Ускорение, которое Земля сообщает Луне:
$ a_{ЗЛ} = \frac{F_{ЗЛ}}{m_Л} = G \frac{M_З}{r_{ЗЛ}^2} \approx 6.674 \cdot 10^{-11} \frac{5.97 \cdot 10^{24}}{(3.84 \cdot 10^8)^2} \approx 0.0027 \text{ м/с}^2 $

2. Ускорение, которое Солнце сообщает системе Земля-Луна (и что заставляет их обращаться вокруг Солнца):
$ a_{С} = G \frac{M_С}{R_{СЛ}^2} \approx 6.674 \cdot 10^{-11} \frac{1.99 \cdot 10^{30}}{(1.50 \cdot 10^{11})^2} \approx 0.0059 \text{ м/с}^2 $

Ключевым является то, что гравитационное поле Земли в окрестностях Луны доминирует над разностью гравитационного поля Солнца. Луна находится внутри сферы гравитационного влияния Земли (так называемой сферы Хилла), где притяжение Земли является определяющим для орбитального движения вокруг нее. Сила притяжения Солнца выступает в роли внешнего поля, которое перемещает всю систему Земля-Луна целиком.

Проще говоря, Солнце тянет за "поводок" и Землю, и Луну одновременно. А Земля держит Луну на своем, более коротком и локально более сильном "поводке". Поскольку Солнце тянет обоих почти одинаково, их взаимное положение определяется именно этой более сильной локальной связью.

Ответ: Луна остается спутником Земли, потому что она находится в сфере гравитационного доминирования Земли. Хотя абсолютная сила притяжения Солнца больше, она действует практически одинаково на Землю и Луну, заставляя их вместе обращаться вокруг Солнца. Движение же Луны относительно Земли определяется гравитационным полем Земли, которое в этой локальной системе значительно сильнее, чем разница (приливная сила) гравитационного поля Солнца в точках нахождения Земли и Луны.