Номер 2, страница 95, часть 1 - гдз по физике 9 класс учебник Белага, Воронцова

Часть 1. Глава 2. Основы динамики. Параграф 21. Движение искусственных спутников Земли. Вопросы и задания - номер 2, страница 95.

Условие.

2. Что такое первая космическая скорость?

Решение.

Первая космическая скорость (также известная как круговая скорость) — это минимальная скорость, которую необходимо сообщить телу в горизонтальном направлении у поверхности небесного тела (например, планеты), чтобы оно не упало на него, а стало его искусственным спутником, движущимся по круговой орбите.

Решение

Для того чтобы тело двигалось по круговой орбите, сила всемирного тяготения $F_{грав}$, действующая на него со стороны планеты, должна быть равна центростремительной силе $F_{ц}$, которая удерживает тело на орбите. Согласно второму закону Ньютона, это условие записывается как равенство сил:

$F_{грав} = F_{ц}$

Подставим выражения для этих сил в уравнение:

$G \frac{M \cdot m}{R^2} = \frac{m \cdot v_1^2}{R}$

В этой формуле $\text{G}$ — гравитационная постоянная ($ \approx 6.674 \times 10^{-11} \, \text{Н} \cdot \text{м}^2/\text{кг}^2$), $\text{M}$ — масса планеты, $\text{m}$ — масса спутника, $\text{R}$ — радиус круговой орбиты (для орбиты у поверхности он принимается равным радиусу планеты), $v_1$ — первая космическая скорость.

Из уравнения видно, что масса спутника $\text{m}$ сокращается. Это означает, что первая космическая скорость не зависит от массы объекта, который выводят на орбиту. После упрощения выражения получаем формулу для вычисления $v_1$:

$v_1 = \sqrt{\frac{G \cdot M}{R}}$

Эту формулу можно также выразить через ускорение свободного падения $\text{g}$ на поверхности планеты. Так как $g = G \frac{M}{R^2}$, то $G \cdot M = g \cdot R^2$. Подставим это соотношение в формулу для скорости:

$v_1 = \sqrt{\frac{g \cdot R^2}{R}} = \sqrt{g \cdot R}$

Последняя формула очень удобна для расчетов. Вычислим значение первой космической скорости для Земли.

Дано

Ускорение свободного падения у поверхности Земли: $g \approx 9.81 \, \text{м/с}^2$.

Средний радиус Земли: $R_{\oplus} \approx 6371 \, \text{км}$.

Перевод в систему СИ:

$R_{\oplus} = 6371 \times 1000 \, \text{м} = 6.371 \times 10^6 \, \text{м}$.

Найти:

$v_1$ — первая космическая скорость для Земли.

Решение

Используем формулу $v_1 = \sqrt{g \cdot R_{\oplus}}$ и подставим в нее известные значения:

$v_1 = \sqrt{9.81 \, \text{м/с}^2 \cdot 6.371 \times 10^6 \, \text{м}} \approx \sqrt{62499510 \, \text{м}^2/\text{с}^2} \approx 7905.7 \, \text{м/с}$

Округлим значение и переведем его в километры в секунду:

$v_1 \approx 7.9 \, \text{км/с}$

Важно понимать, что если скорость тела при запуске будет меньше первой космической, оно упадет на Землю, двигаясь по эллиптической траектории. Если же скорость будет больше первой космической, но меньше второй космической скорости (скорости убегания), то тело выйдет на эллиптическую орбиту вокруг Земли.

Ответ:

Первая космическая скорость — это минимальная скорость, которую нужно сообщить телу, чтобы оно стало искусственным спутником небесного тела, движущимся по круговой орбите вблизи его поверхности. Она вычисляется по формуле $v_1 = \sqrt{g \cdot R}$, где $\text{g}$ — ускорение свободного падения у поверхности, а $\text{R}$ — радиус небесного тела. Для планеты Земля первая космическая скорость составляет примерно 7.9 км/с.