Номер 4, страница 222, часть 1 - гдз по физике 9 класс учебник Белага, Воронцова

Часть 1. Глава 6. Механические колебания и волны. Параграф 54. Превращения энергии при колебаниях. Затухающие колебания. Вопросы и задания - номер 4, страница 222.

Условие.

4. Отклоните нитяной маятник на небольшой угол и измерьте время, по истечении которого колебания практически полностью затухнут. Повторите опыт, увеличив вдвое начальное отклонение маятника. Сравните время затухания колебаний в обоих случаях и сделайте выводы.

Решение.

Решение

Это задание описывает мысленный или реальный физический эксперимент по изучению затухающих колебаний нитяного маятника. Проанализируем его поэтапно.

1. Первый случай: малое начальное отклонение.

Когда мы отклоняем маятник на небольшой угол $\alpha_1$ и отпускаем, мы сообщаем ему определённый запас потенциальной энергии. В верхней точке траектории (точке максимального отклонения) эта энергия равна $E_1 = mgh_1$, где $h_1$ — высота подъёма груза. Для малых углов можно показать, что начальная энергия пропорциональна квадрату амплитуды (угла отклонения): $E_1 \propto \alpha_1^2$.

Во время колебаний маятник теряет энергию из-за сопротивления воздуха и трения в точке подвеса. Эти силы совершают отрицательную работу, в результате чего полная механическая энергия маятника уменьшается, что проявляется в постепенном уменьшении амплитуды колебаний. Через некоторое время $t_1$ вся начальная энергия будет рассеяна, и колебания прекратятся.

2. Второй случай: начальное отклонение увеличено вдвое.

Во втором опыте начальный угол отклонения составляет $\alpha_2 = 2\alpha_1$. Так как начальная энергия пропорциональна квадрату амплитуды, то новый запас энергии будет равен $E_2 \propto \alpha_2^2 = (2\alpha_1)^2 = 4\alpha_1^2$. Таким образом, $E_2 = 4E_1$. Во втором случае маятнику необходимо рассеять в четыре раза больше энергии, чтобы остановиться.

Сравнение и выводы.

При колебаниях с большей амплитудой маятник движется с большей средней и максимальной скоростью. Сила сопротивления воздуха возрастает с увеличением скорости. Следовательно, во втором случае энергия будет рассеиваться (теряться) в каждый момент времени интенсивнее, чем в первом.

Однако, несмотря на более интенсивное затухание, общее количество энергии, которое нужно рассеять, увеличилось значительно (в 4 раза). Увеличение начальной энергии является доминирующим фактором. Чтобы рассеять вчетверо большую энергию, даже при более высокой скорости её потерь, потребуется больше времени.

Теоретически, для модели с силой сопротивления, пропорциональной скорости, амплитуда колебаний $\text{A}$ убывает со временем $\text{t}$ по экспоненциальному закону: $A(t) = A_0 e^{-\gamma t}$, где $A_0$ — начальная амплитуда, а $\gamma$ — коэффициент затухания. Время, за которое амплитуда уменьшится с $A_0$ до некоторого очень малого значения $A_{fin}$ (когда мы считаем, что колебания прекратились), будет тем больше, чем больше начальная амплитуда $A_0$.

Таким образом, сравнивая время затухания в обоих случаях, мы получим, что $t_2 > t_1$.

Ответ: При увеличении начального отклонения маятника вдвое, время затухания его колебаний увеличится. Это связано с тем, что начальная энергия маятника увеличивается в четыре раза, и для её полного рассеивания требуется больше времени, несмотря на то, что при больших амплитудах скорость потерь энергии также возрастает.