Номер 2, страница 43 - гдз по физике 9 класс самостоятельные работы Генденштейн, Орлов

Самостоятельная работа 7. Атом и атомное ядро. Вариант 2 - номер 2, страница 43.

Условие.

2*. Через какой промежуток времени число ядер этого изотопа уменьшится в 1000 раз?

Решение. ___________.

Решение.

Дано:

Уменьшение числа ядер: $\frac{N_0}{N} = 1000$

Найти:

$t$ - ?

Решение:

Закон радиоактивного распада описывает изменение числа нераспавшихся ядер $N$ со временем $t$:

$N(t) = N_0 \cdot 2^{-\frac{t}{T_{1/2}}}$

где $N_0$ — начальное число ядер, а $T_{1/2}$ — период полураспада изотопа.

Согласно условию задачи, число ядер должно уменьшиться в 1000 раз. Это означает, что в момент времени $t$ число оставшихся ядер $N(t)$ будет равно $\frac{N_0}{1000}$.

Подставим это соотношение в формулу закона радиоактивного распада:

$\frac{N_0}{1000} = N_0 \cdot 2^{-\frac{t}{T_{1/2}}}$

Разделим обе части уравнения на $N_0$:

$\frac{1}{1000} = 2^{-\frac{t}{T_{1/2}}}$

Из этого следует, что:

$1000 = 2^{\frac{t}{T_{1/2}}}$

Для того чтобы найти $t$, необходимо прологарифмировать обе части уравнения. Возьмем натуральный логарифм ($\ln$) от обеих частей:

$\ln(1000) = \ln(2^{\frac{t}{T_{1/2}}})$

Используя свойство логарифма $\ln(a^b) = b \cdot \ln(a)$, получим:

$\ln(1000) = \frac{t}{T_{1/2}} \cdot \ln(2)$

Теперь выразим искомый промежуток времени $t$:

$t = T_{1/2} \cdot \frac{\ln(1000)}{\ln(2)}$

Вычислим значение отношения логарифмов, используя их приближенные значения: $\ln(1000) \approx 6.9077$ и $\ln(2) \approx 0.6931$.

$\frac{\ln(1000)}{\ln(2)} \approx \frac{6.9077}{0.6931} \approx 9.966$

Таким образом, искомый промежуток времени составляет примерно 9.97 периодов полураспада.

Для быстрой оценки можно использовать известное приближение $2^{10} = 1024 \approx 1000$. Тогда наше уравнение $1000 = 2^{\frac{t}{T_{1/2}}}$ можно приближенно записать как:

$2^{10} \approx 2^{\frac{t}{T_{1/2}}}$

Отсюда следует, что $\frac{t}{T_{1/2}} \approx 10$, или $t \approx 10 \cdot T_{1/2}$.

Поскольку в задаче не указан конкретный изотоп, точный численный ответ дать невозможно. Ответ выражается через период полураспада $T_{1/2}$.

Ответ: Промежуток времени, через который число ядер этого изотопа уменьшится в 1000 раз, равен $t = T_{1/2} \cdot \frac{\ln(1000)}{\ln(2)} \approx 9.97 \cdot T_{1/2}$, где $T_{1/2}$ — период полураспада данного изотопа. Это соответствует примерно 10 периодам полураспада.