Номер 4, страница 11, часть 3 - гдз по физике 9 класс рабочая тетрадь Грачев, Погожев

Часть 3. Глава 7. Электромагнитные колебания и волны. Параграф 37. Колебательный контур. Свободные электромагнитные колебания - номер 4, страница 11.

Условие.

4. На рис. 13 показан график зависимости от времени $\text{t}$ напряжения $\text{u}$ между обкладками конденсатора колебательного контура при свободных колебаниях в нём для промежутка времени $0 < t < 55 \text{ мкс}$. Потери энергии в контуре пренебрежимо малы. Ёмкость конденсатора $C = 10 \text{ нФ}.

Используя данную зависимость, определите

1) амплитуду напряжения между обкладками конденсатора

$U_{\text{max}} = \_$

2) период свободных колебаний $T=$

$T = \_$

3) частоту свободных колебаний $\nu=$

$\nu = \_$

4) максимальный заряд конденсатора $q_{\text{max}}=$

$q_{\text{max}} = \_$

5*) энергию электрического поля в конденсаторе в моменты времени $t_1 = 5 \text{ мкс}, t_2 = 10 \text{ мкс}, t_3 = 20 \text{ мкс}, t_4 = 42 \text{ мкс}, t_5 = 48 \text{ мкс}, t_6 = 50 \text{ мкс}$

$W_{\text{э}}(t_1) = W_{\text{э}1} = \_,$ $W_{\text{э}2} = \_,$ $W_{\text{э}3} = \_,$ $W_{\text{э}4} = \_,$

$W_{\text{э}5} = \_,$ $W_{\text{э}6} = \_.$

6*) энергию магнитного поля в катушке контура в моменты времени $t_1 = 5 \text{ мкс}, t_2 = 10 \text{ мкс}, t_3 = 20 \text{ мкс}, t_4 = 42 \text{ мкс}, t_5 = 48 \text{ мкс}, t_6 = 50 \text{ мкс}$

$W_{\text{м}}(t_1) = W_{\text{м}1} = \_,$ $W_{\text{м}2} = \_,$ $W_{\text{м}3} = \_,$ $W_{\text{м}4} = \_,$

$W_{\text{м}5} = \_,$ $W_{\text{м}6} = \_.$

7*) промежутки времени в пределах $0 < t < 55 \text{ мкс}$, в течение которых заряд обкладки конденсатора, имевшей в начальный момент времени $t = 0$ максимальный отрицательный заряд, уменьшается

Отметьте на графике (см. рис. 13) точки, в которых:

1) энергия магнитного поля в катушке контура максимальна (синими крестиками);

2) энергия магнитного поля в катушке контура минимальна (красными крестиками);

3) энергия электрического поля в конденсаторе контура максимальна (синими кружочками);

4) энергия электрического поля в конденсаторе контура минимальна (красными кружочками).

Решение.

Дано:

График зависимости напряжения $u$ от времени $t$.

Ёмкость конденсатора $C = 10 \text{ нФ} = 10 \cdot 10^{-9} \text{ Ф}$.

Из графика:

Амплитуда напряжения $U_{max} = 4 \text{ В}$.

Период колебаний $T = 20 \text{ мкс} = 20 \cdot 10^{-6} \text{ с}$.

Найти:

1) $U_{max}$ - ?

2) $T$ - ?

3) $ν$ - ?

4) $q_{max}$ - ?

5) $W_{э1}, W_{э2}, W_{э3}, W_{э4}, W_{э5}, W_{э6}$ при $t_1 = 5 \text{ мкс}, t_2 = 10 \text{ мкс}, t_3 = 20 \text{ мкс}, t_4 = 42 \text{ мкс}, t_5 = 48 \text{ мкс}, t_6 = 50 \text{ мкс}$ - ?

6) $W_{м1}, W_{м2}, W_{м3}, W_{м4}, W_{м5}, W_{м6}$ в те же моменты времени - ?

7) Промежутки времени, в которые заряд отрицателен и уменьшается.

Решение:

1) амплитуду напряжения между обкладками конденсатора

Амплитуда напряжения $U_{max}$ — это максимальное значение модуля напряжения. Из графика видно, что напряжение колеблется в пределах от -4 В до +4 В.

Ответ: $U_{max} = 4 \text{ В}$.

2) период свободных колебаний T

Период колебаний $T$ — это время одного полного колебания. По графику, напряжение достигает своего максимума в моменты времени $t=0 \text{ мкс}$, $t=20 \text{ мкс}$ и $t=40 \text{ мкс}$. Разница во времени между двумя последовательными максимумами и есть период.

$T = 20 \text{ мкс} - 0 \text{ мкс} = 20 \text{ мкс}$.

Ответ: $T = 20 \text{ мкс}$.

3) частоту свободных колебаний ν

Частота колебаний $ν$ связана с периодом $T$ соотношением $ν = \frac{1}{T}$.

$ν = \frac{1}{20 \cdot 10^{-6} \text{ с}} = 0.05 \cdot 10^6 \text{ Гц} = 50 \cdot 10^3 \text{ Гц} = 50 \text{ кГц}$.

Ответ: $ν = 50 \text{ кГц}$.

4) максимальный заряд конденсатора $q_{max}$

Максимальный заряд на обкладках конденсатора связан с амплитудой напряжения и ёмкостью формулой $q_{max} = C \cdot U_{max}$.

$q_{max} = (10 \cdot 10^{-9} \text{ Ф}) \cdot (4 \text{ В}) = 40 \cdot 10^{-9} \text{ Кл} = 40 \text{ нКл}$.

Ответ: $q_{max} = 40 \text{ нКл}$.

5*) энергию электрического поля в конденсаторе в моменты времени $t_1 = 5 \text{ мкс}, t_2 = 10 \text{ мкс}, t_3 = 20 \text{ мкс}, t_4 = 42 \text{ мкс}, t_5 = 48 \text{ мкс}, t_6 = 50 \text{ мкс}$

Энергия электрического поля конденсатора вычисляется по формуле $W_э = \frac{C u^2}{2}$. Максимальная энергия $W_{э, max} = \frac{C U_{max}^2}{2} = \frac{(10 \cdot 10^{-9} \text{ Ф}) \cdot (4 \text{ В})^2}{2} = 80 \cdot 10^{-9} \text{ Дж} = 80 \text{ нДж}$.

Определим значения $u(t)$ по графику для каждого момента времени:

При $t_1 = 5 \text{ мкс}$, $u(t_1) = 0 \text{ В} \implies W_{э1} = 0$.

При $t_2 = 10 \text{ мкс}$, $u(t_2) = -4 \text{ В} \implies W_{э2} = \frac{C(-4)^2}{2} = 80 \text{ нДж}$.

При $t_3 = 20 \text{ мкс}$, $u(t_3) = 4 \text{ В} \implies W_{э3} = \frac{C(4)^2}{2} = 80 \text{ нДж}$.

При $t_4 = 42 \text{ мкс}$, напряжение $u(42)$ такое же, как $u(2)$, так как период 20 мкс. $u(t) = U_{max}\cos(\frac{2\pi}{T}t) = 4\cos(\frac{2\pi}{20}t) = 4\cos(0.1\pi t)$. $u(42) = 4\cos(4.2\pi) \approx 3.24 \text{ В}$. $W_{э4} = \frac{10^{-8} \cdot (3.24)^2}{2} \approx 52.4 \text{ нДж}$.

При $t_5 = 48 \text{ мкс}$, $u(48) = 4\cos(4.8\pi) \approx -3.24 \text{ В}$. Так как напряжение в квадрате, $W_{э5} = W_{э4} \approx 52.4 \text{ нДж}$.

При $t_6 = 50 \text{ мкс}$, $u(t_6) = -4 \text{ В} \implies W_{э6} = \frac{C(-4)^2}{2} = 80 \text{ нДж}$.

Ответ: $W_{э1} = 0$, $W_{э2} = 80 \text{ нДж}$, $W_{э3} = 80 \text{ нДж}$, $W_{э4} \approx 52.4 \text{ нДж}$, $W_{э5} \approx 52.4 \text{ нДж}$, $W_{э6} = 80 \text{ нДж}$.

6*) энергию магнитного поля в катушке контура в моменты времени $t_1 = 5 \text{ мкс}, t_2 = 10 \text{ мкс}, t_3 = 20 \text{ мкс}, t_4 = 42 \text{ мкс}, t_5 = 48 \text{ мкс}, t_6 = 50 \text{ мкс}$

Полная энергия колебательного контура сохраняется: $W_{полная} = W_э + W_м = W_{э, max} = 80 \text{ нДж}$. Отсюда $W_м = W_{полная} - W_э$.

При $t_1 = 5 \text{ мкс}$, $W_{э1} = 0 \implies W_{м1} = 80 - 0 = 80 \text{ нДж}$.

При $t_2 = 10 \text{ мкс}$, $W_{э2} = 80 \text{ нДж} \implies W_{м2} = 80 - 80 = 0$.

При $t_3 = 20 \text{ мкс}$, $W_{э3} = 80 \text{ нДж} \implies W_{м3} = 80 - 80 = 0$.

При $t_4 = 42 \text{ мкс}$, $W_{э4} \approx 52.4 \text{ нДж} \implies W_{м4} = 80 - 52.4 = 27.6 \text{ нДж}$.

При $t_5 = 48 \text{ мкс}$, $W_{э5} \approx 52.4 \text{ нДж} \implies W_{м5} = 80 - 52.4 = 27.6 \text{ нДж}$.

При $t_6 = 50 \text{ мкс}$, $W_{э6} = 80 \text{ нДж} \implies W_{м6} = 80 - 80 = 0$.

Ответ: $W_{м1} = 80 \text{ нДж}$, $W_{м2} = 0$, $W_{м3} = 0$, $W_{м4} \approx 27.6 \text{ нДж}$, $W_{м5} \approx 27.6 \text{ нДж}$, $W_{м6} = 0$.

7*) промежутки времени в пределах $0 < t < 55 \text{ мкс}$, в течение которых заряд обкладки конденсатора, имевшей в начальный момент времени $t = 0$ максимальный отрицательный заряд, уменьшается

Из графика, при $t=0$, напряжение $u$ максимально и положительно. Это значит, что одна обкладка (условно 1) имеет максимальный положительный заряд $q_1 = q_{max}$, а другая (условно 2) — максимальный отрицательный заряд $q_2 = -q_{max}$. Нас интересует заряд $q_2$. Заряд $q_2$ пропорционален $-u(t)$. Условие "заряд уменьшается" означает, что его значение становится меньше (более отрицательным). Это соответствует возрастанию напряжения $u(t)$. Таким образом, нам нужно найти промежутки времени, где заряд $q_2$ отрицателен (т.е. $u(t)>0$) и при этом уменьшается (т.е. $u(t)$ возрастает).

Смотрим на график, где одновременно $u(t) > 0$ и функция $u(t)$ возрастает:

1. от $t = 15 \text{ мкс}$ до $t = 20 \text{ мкс}$.

2. от $t = 35 \text{ мкс}$ до $t = 40 \text{ мкс}$.

3. от $t = 55 \text{ мкс}$ (но это за пределами заданного интервала).

Ответ: $(15; 20)$ мкс; $(35; 40)$ мкс.

Отметьте на графике (см. рис. 13) точки, в которых:

1) энергия магнитного поля в катушке контура максимальна (синими крестиками);

Энергия магнитного поля максимальна, когда энергия электрического поля равна нулю, то есть при $u=0$. Это происходит в моменты времени $t = 5, 15, 25, 35, 45$ мкс.

2) энергия магнитного поля в катушке контура минимальна (красными крестиками);

Энергия магнитного поля минимальна (равна нулю), когда энергия электрического поля максимальна, то есть при $u = \pm U_{max}$. Это происходит в моменты времени $t = 0, 10, 20, 30, 40, 50$ мкс.

3) энергия электрического поля в конденсаторе контура максимальна (синими кружочками);

Энергия электрического поля максимальна, когда напряжение максимально по модулю, $u = \pm U_{max}$. Это происходит в моменты времени $t = 0, 10, 20, 30, 40, 50$ мкс.

4) энергия электрического поля в конденсаторе контура минимальна (красными кружочками);

Энергия электрического поля минимальна (равна нулю), когда напряжение равно нулю, $u=0$. Это происходит в моменты времени $t = 5, 15, 25, 35, 45$ мкс.