Номер 3, страница 10, часть 3 - гдз по физике 9 класс рабочая тетрадь Грачев, Погожев

Часть 3. Глава 7. Электромагнитные колебания и волны. Параграф 37. Колебательный контур. Свободные электромагнитные колебания - номер 3, страница 10.

Условие.

3. На рис. 12 показан график зависимости от времени $\text{t}$ силы тока $\text{i}$, протекающего через катушку колебательного контура при свободных колебаниях в нём, для промежутка времени $0 < t < 55$ мкс. Потери энергии в контуре пренебрежимо малы.

Используя данную зависимость, определите

1) амплитуду силы тока $I_{\text{max}}$ = ____

2) период свободных колебаний $\text{T}$ = ____

3) частоту свободных колебаний $\nu$ = ____

4) силу тока в моменты времени $t_1 = 5$ мкс, $t_2 = 15$ мкс, $t_3 = 32$ мкс, $t_4 = 42$ мкс, $t_5 = 48$ мкс, $t_6 = 50$ мкс, $t_7 = 55$ мкс

$i(t_1) = i_1 = \text{____}, i_2 = \text{____}, i_3 = \text{____}, i_4 = \text{____}, i_5 = \text{____}, i_6 = \text{____}, i_7 = \text{____}$

5) модуль максимальной скорости изменения заряда конденсатора контура

$|\frac{\Delta q_c}{\Delta t}|_{\text{max}} = \text{____}$

6*) промежутки времени в пределах $0 < t < 55$ мкс, в течение которых заряд обкладки конденсатора, имевшей в начальный момент времени $t = 0$ максимальный отрицательный заряд, уменьшается

Рис. 12

Ответьте на следующие вопросы.

1) Изменяется ли (да/нет) энергия электромагнитного поля этого контура с течением времени? ____

2) Чему равен период изменения энергии магнитного поля в контуре? ____

3) Чему равен период изменения энергии электрического поля в контуре? ____

Отметьте на графике (см. рис. 12) точки, в которых:

1) энергия магнитного поля в катушке контура максимальна (синими крестиками);

2) энергия магнитного поля в катушке контура минимальна (красными крестиками);

3) энергия электрического поля в конденсаторе контура максимальна (синими кружочками);

4) энергия электрического поля в конденсаторе контура минимальна (красными кружочками).

Решение.

1) амплитуду силы тока $I_{max}$ =
Амплитуда силы тока — это максимальное по модулю значение силы тока, достигаемое в процессе колебаний. Из графика видно, что максимальное значение силы тока равно 4 мА, а минимальное -4 мА. Таким образом, амплитудное значение составляет 4 мА.
Ответ: $I_{max}$ = 4 мА.

2) период свободных колебаний $T$ =
Период колебаний — это время, за которое система совершает одно полное колебание. На графике можно определить период как время между двумя последовательными максимумами. Первый максимум наблюдается при $t_1 = 5$ мкс, а второй — при $t_2 = 25$ мкс. Таким образом, период $T = t_2 - t_1 = 25 - 5 = 20$ мкс. Также можно определить период как удвоенное время между последовательными прохождениями тока через ноль, например, от $t=0$ до $t=10$ мкс (полпериода). $T = 2 \cdot 10 = 20$ мкс.
Ответ: $T$ = 20 мкс.

3) частоту свободных колебаний $\nu$ =
Дано:
$T = 20$ мкс
Перевод в СИ:
$T = 20 \cdot 10^{-6}$ с
Найти:
$\nu$
Решение:
Частота свободных колебаний $\nu$ связана с периодом $T$ обратной зависимостью: $\nu = \frac{1}{T}$.
Подставим значение периода:
$\nu = \frac{1}{20 \cdot 10^{-6} \text{ с}} = 0.05 \cdot 10^6 \text{ Гц} = 50000 \text{ Гц} = 50$ кГц.
Ответ: $\nu$ = 50 кГц.

4) силу тока в моменты времени $t_1 = 5$ мкс, $t_2 = 15$ мкс, $t_3 = 32$ мкс, $t_4 = 42$ мкс, $t_5 = 48$ мкс, $t_6 = 50$ мкс, $t_7 = 55$ мкс
Значения силы тока в указанные моменты времени определяем непосредственно по графику, либо используя уравнение колебаний, которое можно составить по графику: $i(t) = I_{max}\sin(\omega t)$, где $I_{max} = 4$ мА и $\omega = \frac{2\pi}{T} = \frac{2\pi}{20 \text{ мкс}} = \frac{\pi}{10}$ рад/мкс. Итак, $i(t) = 4\sin(\frac{\pi t}{10})$ мА, где $t$ в мкс.
$i_1 = i(5 \text{ мкс}) = 4 \cdot \sin(\frac{5\pi}{10}) = 4 \cdot \sin(\frac{\pi}{2}) = 4$ мА.
$i_2 = i(15 \text{ мкс}) = 4 \cdot \sin(\frac{15\pi}{10}) = 4 \cdot \sin(\frac{3\pi}{2}) = -4$ мА.
$i_3 = i(32 \text{ мкс}) = 4 \cdot \sin(\frac{32\pi}{10}) = 4 \cdot \sin(3.2\pi) \approx 4 \cdot (-0.588) \approx -2.35$ мА.
$i_4 = i(42 \text{ мкс}) = 4 \cdot \sin(\frac{42\pi}{10}) = 4 \cdot \sin(4.2\pi) \approx 4 \cdot (0.588) \approx 2.35$ мА.
$i_5 = i(48 \text{ мкс}) = 4 \cdot \sin(\frac{48\pi}{10}) = 4 \cdot \sin(4.8\pi) \approx 4 \cdot (0.588) \approx 2.35$ мА.
$i_6 = i(50 \text{ мкс}) = 4 \cdot \sin(\frac{50\pi}{10}) = 4 \cdot \sin(5\pi) = 0$ мА.
$i_7 = i(55 \text{ мкс}) = 4 \cdot \sin(\frac{55\pi}{10}) = 4 \cdot \sin(5.5\pi) = -4$ мА.
Ответ: $i_1 = 4$ мА, $i_2 = -4$ мА, $i_3 \approx -2.35$ мА, $i_4 \approx 2.35$ мА, $i_5 \approx 2.35$ мА, $i_6 = 0$ мА, $i_7 = -4$ мА.

5) модуль максимальной скорости изменения заряда конденсатора контура $|\Delta q_c / \Delta t|_{max}$ =
Скорость изменения заряда конденсатора есть сила тока $i(t) = \frac{dq_c}{dt}$. Таким образом, модуль максимальной скорости изменения заряда равен максимальному значению модуля силы тока, то есть амплитуде силы тока $I_{max}$.
$|\frac{\Delta q_c}{\Delta t}|_{max} = I_{max} = 4$ мА.
Ответ: $|\Delta q_c / \Delta t|_{max} = 4$ мА.

6*) промежутки времени в пределах $0 < t < 55$ мкс, в течение которых заряд обкладки конденсатора, имевшей в начальный момент времени $t = 0$ максимальный отрицательный заряд, уменьшается
Зависимость силы тока от времени описывается функцией $i(t) = I_{max}\sin(\omega t)$. Так как $i = q'$, то $q(t) = \int i(t) dt = -\frac{I_{max}}{\omega}\cos(\omega t) + C$. При $t=0$, $i=0$, следовательно, заряд на конденсаторе максимален по модулю. Поскольку $i > 0$ при $t \rightarrow 0^+$, то $q'(t) > 0$, значит, заряд растет. Это возможно, если в начальный момент он был максимальным отрицательным, т.е. $q(0) = -Q_{max}$. Таким образом, зависимость заряда от времени имеет вид $q(t) = -Q_{max}\cos(\omega t)$.
Заряд "уменьшается", когда его значение становится более отрицательным, то есть когда его производная по времени отрицательна: $q'(t) < 0$. Так как $q'(t) = i(t)$, то нам нужно найти промежутки времени, когда сила тока отрицательна.
Из графика видно, что $i < 0$ в интервалах: $(10, 20)$ мкс, $(30, 40)$ мкс и $(50, 60)$ мкс. В пределах заданного промежутка $0 < t < 55$ мкс это будут интервалы $(10, 20)$ мкс, $(30, 40)$ мкс и $(50, 55)$ мкс.
Ответ: $(10, 20)$ мкс; $(30, 40)$ мкс; $(50, 55)$ мкс.

Ответьте на следующие вопросы.

1) Изменяется ли (да/нет) энергия электромагнитного поля этого контура с течением времени?
В условии задачи указано, что потери энергии в контуре пренебрежимо малы. Это означает, что колебательный контур является идеальным. В идеальном контуре полная электромагнитная энергия сохраняется, то есть не изменяется с течением времени.
Ответ: нет.

2) Чему равен период изменения энергии магнитного поля в контуре?
Энергия магнитного поля катушки определяется формулой $W_L = \frac{Li^2(t)}{2}$. Поскольку ток $i(t)$ изменяется синусоидально с периодом $T$, то его квадрат $i^2(t)$ и, следовательно, энергия $W_L$ будут изменяться с вдвое меньшим периодом $T_W = T/2$. Период колебаний тока $T = 20$ мкс.
$T_W = \frac{20 \text{ мкс}}{2} = 10$ мкс.
Ответ: 10 мкс.

3) Чему равен период изменения энергии электрического поля в контуре?
Энергия электрического поля конденсатора $W_C = \frac{q^2(t)}{2C}$. Заряд $q(t)$ также изменяется гармонически с периодом $T$. Аналогично энергии магнитного поля, энергия электрического поля будет изменяться с периодом $T_W = T/2$.
$T_W = \frac{20 \text{ мкс}}{2} = 10$ мкс.
Ответ: 10 мкс.

Отметьте на графике (см. рис. 12) точки, в которых:

Поскольку нет возможности отметить точки на графике, будут указаны моменты времени, соответствующие этим точкам.

1) энергия магнитного поля в катушке контура максимальна (синими крестиками);
Энергия магнитного поля $W_L = \frac{Li^2}{2}$ максимальна, когда сила тока $i$ максимальна по модулю, то есть в моменты времени, когда $i = \pm I_{max}$.
Ответ: $t = 5$ мкс, $15$ мкс, $25$ мкс, $35$ мкс, $45$ мкс, $55$ мкс.

2) энергия магнитного поля в катушке контура минимальна (красными крестиками);
Энергия магнитного поля минимальна (равна нулю), когда сила тока $i = 0$.
Ответ: $t = 0$ мкс, $10$ мкс, $20$ мкс, $30$ мкс, $40$ мкс, $50$ мкс.

3) энергия электрического поля в конденсаторе контура максимальна (синими кружочками);
В силу закона сохранения энергии $W_L + W_C = \text{const}$, энергия электрического поля максимальна, когда энергия магнитного поля минимальна, то есть при $i = 0$.
Ответ: $t = 0$ мкс, $10$ мкс, $20$ мкс, $30$ мкс, $40$ мкс, $50$ мкс.

4) энергия электрического поля в конденсаторе контура минимальна (красными кружочками).
Энергия электрического поля минимальна (равна нулю), когда энергия магнитного поля максимальна, то есть при $i = \pm I_{max}$.
Ответ: $t = 5$ мкс, $15$ мкс, $25$ мкс, $35$ мкс, $45$ мкс, $55$ мкс.