Номер 5, страница 32, часть 3 - гдз по физике 9 класс рабочая тетрадь Грачев, Погожев

Часть 3. Глава 8. Оптика. Параграф 44. Преломление света в призме. Дисперсия - номер 5, страница 32.

Условие.

5*. Параллельный пучок синего света падает под углом $\alpha$ на плоскопараллельную прозрачную пластинку, находящуюся в однородной прозрачной среде. Относительный показатель преломления материала пластинки равен $\text{n}$. Постройте ход луча и определите толщину $\text{D}$ пластинки, если смещение луча равно $\text{h}$.

Подсказка. При решении задачи используйте рис. 167 учебника.

Решение.

Решение.

Дано:

Угол падения луча: $α$

Относительный показатель преломления пластинки: $n$

Смещение луча: $h$

Найти:

Толщину пластинки $D$.

Решение:

Первая часть задачи — построить ход луча. Опишем это построение. Луч света падает на верхнюю границу раздела двух сред (среда-пластинка) под углом $α$ к нормали, восстановленной в точке падения А. В этой точке луч преломляется. Угол преломления $β$ определяется законом Снеллиуса. Так как луч переходит в оптически более плотную среду ($n>1$), угол преломления $β$ будет меньше угла падения $α$.

Преломленный луч распространяется прямолинейно внутри пластинки до встречи с нижней границей в точке B. Так как пластинка плоскопараллельная, то нормали к поверхностям в точках входа А и выхода B параллельны. Следовательно, угол падения на вторую границу раздела равен углу преломления на первой, то есть $β$. По закону преломления, луч выйдет из пластинки под углом, равным первоначальному углу падения $α$. Таким образом, вышедший луч параллелен падающему, но смещен относительно его первоначального направления на расстояние $h$.

Теперь определим толщину пластинки $D$. Рассмотрим геометрию прохождения луча. Пусть $AB$ — это путь луча внутри пластинки. Из точки B опустим перпендикуляр $BC$ на линию первоначального направления луча. Длина этого перпендикуляра и есть смещение $h$. Также из точки А опустим перпендикуляр $AK$ на вторую грань пластинки. Длина $AK$ равна толщине пластинки $D$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $ABK$. В нем гипотенуза — $AB$, катет $AK = D$, а угол $ABK$ равен углу преломления $β$. Отсюда можем выразить длину пути луча в пластинке:

$AB = \frac{D}{\cos\beta}$

Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник $ABC$. В нем гипотенуза — $AB$, катет $BC = h$. Угол $BAC$ равен разности углов падения и преломления, то есть $(\alpha - \beta)$. Из этого треугольника имеем:

$h = AB \sin(\alpha - \beta)$

Подставим в это выражение найденную длину $AB$:

$h = \frac{D}{\cos\beta} \sin(\alpha - \beta)$

Выразим из этого уравнения искомую толщину пластинки $D$:

$D = \frac{h \cos\beta}{\sin(\alpha - \beta)}$

Данная формула содержит угол преломления $β$, который не задан в условии. Выразим его через известные величины, используя закон преломления света (закон Снеллиуса):

$\sin\alpha = n \sin\beta \implies \sin\beta = \frac{\sin\alpha}{n}$

Используя основное тригонометрическое тождество $\sin^2\beta + \cos^2\beta = 1$, найдем $\cos\beta$:

$\cos\beta = \sqrt{1 - \sin^2\beta} = \sqrt{1 - \frac{\sin^2\alpha}{n^2}} = \frac{\sqrt{n^2 - \sin^2\alpha}}{n}$

Распишем знаменатель в формуле для $D$ по формуле синуса разности:

$\sin(\alpha - \beta) = \sin\alpha\cos\beta - \cos\alpha\sin\beta$

Подставим в формулу для $D$ выражения для $\sin\beta$ и $\cos\beta$:

$D = \frac{h \cos\beta}{\sin\alpha\cos\beta - \cos\alpha\sin\beta}$

Разделим числитель и знаменатель на $\cos\beta$:

$D = \frac{h}{\sin\alpha - \cos\alpha\tan\beta}$

Найдем $\tan\beta$:

$\tan\beta = \frac{\sin\beta}{\cos\beta} = \frac{\sin\alpha/n}{\sqrt{n^2 - \sin^2\alpha}/n} = \frac{\sin\alpha}{\sqrt{n^2 - \sin^2\alpha}}$

Подставим это выражение в формулу для $D$:

$D = \frac{h}{\sin\alpha - \cos\alpha \frac{\sin\alpha}{\sqrt{n^2 - \sin^2\alpha}}} = \frac{h}{\sin\alpha \left(1 - \frac{\cos\alpha}{\sqrt{n^2 - \sin^2\alpha}}\right)}$

Упрощая это выражение, получим:

$D = \frac{h \sqrt{n^2 - \sin^2\alpha}}{\sin\alpha (\sqrt{n^2 - \sin^2\alpha} - \cos\alpha)}$

Ответ: $D = \frac{h \sqrt{n^2 - \sin^2\alpha}}{\sin\alpha (\sqrt{n^2 - \sin^2\alpha} - \cos\alpha)}$