Номер 4, страница 32, часть 3 - гдз по физике 9 класс рабочая тетрадь Грачев, Погожев

Часть 3. Глава 8. Оптика. Параграф 44. Преломление света в призме. Дисперсия - номер 4, страница 32.

Условие.

4*. Две призмы, показанные на рис. 29, с углами при вершине $\alpha = 5^\circ$ и разными показателями преломления плотно прижаты друг к другу. Призмы освещают параллельным пучком зелёного света, падающим перпендикулярно на переднюю грань первой призмы. Выходящий пучок света отклоняется от первоначального направления на угол $\beta = 3^\circ$. Определите разность $\text{n}$ показателей преломления материалов призм. Считайте, что синусы углов $\alpha$ и $\beta$ равны самим углам, измеренным в радианах.

Решение.

Рис. 29

Решение.

Дано:

Угол при вершине призм, $\alpha = 5^\circ$

Угол отклонения выходящего пучка света, $\beta = 3^\circ$

Показатель преломления первой призмы, $n_1$

Показатель преломления второй призмы, $n_2$

Показатель преломления воздуха, $n_0 = 1$

Условие для малых углов: $\sin x \approx x$ (при измерении угла $x$ в радианах)

Перевод в систему СИ (радианы):

$\alpha = 5^\circ = 5 \cdot \frac{\pi}{180} \text{ рад}$

$\beta = 3^\circ = 3 \cdot \frac{\pi}{180} \text{ рад}$

Найти:

Разность показателей преломления материалов призм, $\Delta n = |n_2 - n_1|$

Решение:

Рассмотрим последовательно прохождение луча света через оптическую систему.

1. Граница "воздух - первая призма".

Так как пучок света падает перпендикулярно на переднюю грань первой призмы, угол падения равен нулю. Следовательно, луч не преломляется и входит в первую призму, не меняя своего направления.

2. Граница "первая призма - вторая призма".

Луч света падает на наклонную границу раздела двух призм. Из геометрии системы видно, что угол падения $\theta_1$ на эту границу равен преломляющему углу призмы $\alpha$.

$\theta_1 = \alpha$

Запишем закон преломления света (закон Снеллиуса) для этой границы. Пусть $n_1$ и $n_2$ — показатели преломления материалов первой и второй призм соответственно, а $\theta_2$ — угол преломления:

$n_1 \sin\theta_1 = n_2 \sin\theta_2$

Согласно условию задачи, для малых углов, выраженных в радианах, синус угла можно заменить самим углом. Таким образом, закон преломления принимает вид:

$n_1 \alpha = n_2 \theta_2$

Отсюда выразим угол преломления $\theta_2$:

$\theta_2 = \frac{n_1}{n_2} \alpha$

3. Граница "вторая призма - воздух".

Далее луч распространяется во второй призме и падает на ее выходную вертикальную грань. Угол падения луча $\theta_3$ на эту грань определяется геометрией. Он равен разности углов $\alpha$ и $\theta_2$ (угол луча относительно нормали к выходной грани):

$\theta_3 = \alpha - \theta_2$

При выходе из второй призмы в воздух луч снова преломляется. Угол преломления равен углу отклонения $\beta$, так как до входа в систему луч был параллелен нормали к выходной грани. Запишем закон Снеллиуса для этой границы:

$n_2 \sin\theta_3 = n_0 \sin\beta$

Принимая во внимание, что показатель преломления воздуха $n_0 = 1$ и используя приближение для малых углов, получаем:

$n_2 \theta_3 = \beta$

$n_2 (\alpha - \theta_2) = \beta$

Подставим в это уравнение ранее найденное выражение для $\theta_2$:

$n_2 \left( \alpha - \frac{n_1}{n_2} \alpha \right) = \beta$

Раскроем скобки:

$n_2 \alpha - n_1 \alpha = \beta$

$(n_2 - n_1) \alpha = \beta$

Из этого соотношения можно найти разность показателей преломления $\Delta n = n_2 - n_1$ (судя по рисунку, луч отклоняется вниз, что соответствует случаю $n_2 > n_1$).

$\Delta n = \frac{\beta}{\alpha}$

Для вычисления этого отношения можно использовать значения углов как в градусах, так и в радианах, поскольку множитель для перевода единиц $\frac{\pi}{180}$ сократится.

$\Delta n = \frac{3^\circ}{5^\circ} = 0.6$

Ответ: Разность показателей преломления материалов призм равна 0.6.