Номер 13, страница 31, часть 3 - гдз по физике 9 класс рабочая тетрадь Грачев, Погожев

Часть 3. Глава 8. Оптика. Параграф 43. Закон преломления света на плоской границе двух однородных прозрачных сред - номер 13, страница 31.

Условие.

13. Вычислите, во сколько раз кажущаяся глубина водоёма отличается от его реальной глубины для человека, смотрящего с моста на поверхность воды вертикально вниз. Постройте ход двух лучей, отражённых от дна водоёма.

Указание. Считайте, что угол между крайними лучами, попадающими в глаз человека, столь мал, что синус этого угла можно считать равным самому углу, измеренному в радианной мере. Относительный показатель преломления воды считайте равным $n = \frac{4}{3}$.

Решение.

Решение.

Дано:

Относительный показатель преломления воды $n = \frac{4}{3}$.

Найти:

Во сколько раз кажущаяся глубина $h$ отличается от реальной $H$ (найти отношение $\frac{H}{h}$).

Решение:

Из-за явления преломления света на границе двух сред (воды и воздуха) глубина водоёма кажется меньше, чем есть на самом деле. Пусть $S$ — точка на дне водоёма на реальной глубине $H$. Лучи света, отражённые от этой точки, выходят из воды в воздух и попадают в глаз наблюдателя. Один луч, идущий перпендикулярно поверхности, не преломляется. Другой луч, идущий под малым углом падения $\alpha$ к нормали, преломляется и выходит в воздух под углом $\beta$. По закону Снеллиуса:
$n \cdot \sin\alpha = \sin\beta$,
где $n$ — относительный показатель преломления воды (показатель преломления воздуха принят за 1).

Кажущаяся глубина $h$ определяется положением мнимого изображения $S'$ точки $S$. Это изображение находится на пересечении продолжения преломлённого луча с вертикальным лучом. Рассмотрим прямоугольные треугольники, образованные лучами. Если $x$ — расстояние по горизонтали от точки выхода вертикального луча до точки выхода наклонного луча, то:
$\tan\alpha = \frac{x}{H}$
$\tan\beta = \frac{x}{h}$

Из этих соотношений получаем: $x = H \tan\alpha = h \tan\beta$. Следовательно, отношение глубин равно: $\frac{H}{h} = \frac{\tan\beta}{\tan\alpha}$.

Так как наблюдатель смотрит вертикально вниз, углы $\alpha$ и $\beta$ очень малы. Для малых углов (в радианах) справедливы приближения: $\sin\alpha \approx \tan\alpha \approx \alpha$ и $\sin\beta \approx \tan\beta \approx \beta$. С учётом этого закон преломления принимает вид $n \alpha \approx \beta$, а отношение глубин $\frac{H}{h} \approx \frac{\beta}{\alpha}$.

Подставим выражение для $\beta$ из закона преломления в формулу для отношения глубин:
$\frac{H}{h} \approx \frac{n \alpha}{\alpha} = n$.
Таким образом, реальная глубина в $n$ раз больше кажущейся. Подставим численное значение:
$\frac{H}{h} = \frac{4}{3} \approx 1,33$.

Построение хода лучей, отражённых от дна водоёма:
1. Изобразить горизонтальную линию, представляющую границу раздела вода-воздух.
2. Отметить точку $S$ на дне водоёма на реальной глубине $H$.
3. Из точки $S$ провести луч $SO$ перпендикулярно границе раздела. Он выходит в воздух, не преломляясь.
4. Из точки $S$ провести второй луч $SA$ под малым углом падения $\alpha$ к нормали $SO$.
5. В точке $A$ построить преломлённый луч, идущий в воздух под углом $\beta$ к нормали, причём $\beta > \alpha$. Угол $\beta$ определяется из соотношения $\sin\beta = n \sin\alpha$.
6. Продолжить преломлённый луч в обратном направлении (пунктирной линией) до пересечения с лучом $SO$. Точка пересечения $S'$ и есть мнимое изображение точки $S$. Она находится на кажущейся глубине $h=H/n$.

Ответ: Кажущаяся глубина водоёма отличается от реальной в $\frac{4}{3}$ раза; реальная глубина больше кажущейся в $\frac{4}{3}$ раза.