Номер 11, страница 30, часть 3 - гдз по физике 9 класс рабочая тетрадь Грачев, Погожев

Часть 3. Глава 8. Оптика. Параграф 43. Закон преломления света на плоской границе двух однородных прозрачных сред - номер 11, страница 30.

Условие.

11. В дно озера вертикально вбита свая. Верхний конец сваи находится на глубине $h = 1$ м и на высоте $H = 2$ м над горизонтальным дном озера. Угол падения солнечных лучей на поверхность воды равен $\alpha = 30^{\circ}$. Определите длину тени сваи на дне. Абсолютный показатель преломления воды считайте равным $n = 1,33$. Сделайте поясняющий рисунок.

Решение.

Решение.

Дано:

$h = 1$ м

$H = 2$ м

$\alpha = 30^\circ$

$n = 1.33$

Показатель преломления воздуха $n_{возд} = 1$.

Все величины даны в системе СИ.

Найти:

$L$ — ?

Решение:

Тень на дне озера образуется солнечным лучом, который проходит по касательной к верхнему концу сваи. Длина тени $L$ зависит от преломления света на границе раздела сред "воздух-вода".

Поясняющий рисунок должен изображать границу раздела двух сред (поверхность воды), дно озера и сваю. Свая высотой $H=2$ м стоит вертикально на дне. Солнечный луч падает на поверхность воды под углом падения $\alpha$ к нормали. После преломления луч распространяется в воде под углом преломления $r$ к нормали и проходит через верхний конец сваи, отбрасывая тень на дно.

Согласно закону преломления света (закону Снеллиуса):

$n_{возд} \sin \alpha = n \sin r$

где $n_{возд} \approx 1$ — показатель преломления воздуха, $n$ — показатель преломления воды, $\alpha$ — угол падения, $r$ — угол преломления.

Из этого закона мы можем найти синус угла преломления:

$\sin r = \frac{n_{возд} \sin \alpha}{n} = \frac{1 \cdot \sin 30^\circ}{1.33} = \frac{0.5}{1.33}$

Из геометрических соображений, преломленный луч, высота сваи $H$ и ее тень на дне $L$ образуют прямоугольный треугольник. Угол, прилежащий к катету $H$ (высота сваи), равен углу преломления $r$. Тогда тангенс угла преломления можно выразить как:

$\tan r = \frac{L}{H}$

Отсюда длина тени равна:

$L = H \tan r$

Выразим $\tan r$ через $\sin r$, используя основное тригонометрическое тождество $\cos r = \sqrt{1 - \sin^2 r}$:

$\tan r = \frac{\sin r}{\cos r} = \frac{\sin r}{\sqrt{1 - \sin^2 r}}$

Подставим это выражение в формулу для длины тени:

$L = H \cdot \frac{\sin r}{\sqrt{1 - \sin^2 r}}$

Теперь подставим числовые значения:

$\sin r = \frac{0.5}{1.33} \approx 0.3759$

$\sin^2 r \approx (0.3759)^2 \approx 0.1413$

$L = 2 \cdot \frac{0.3759}{\sqrt{1 - 0.1413}} = 2 \cdot \frac{0.3759}{\sqrt{0.8587}} \approx 2 \cdot \frac{0.3759}{0.9267} \approx 2 \cdot 0.4056 \approx 0.811$ м.

Можно также использовать общую формулу:

$L = H \cdot \frac{\frac{\sin \alpha}{n}}{\sqrt{1 - \left(\frac{\sin \alpha}{n}\right)^2}} = H \cdot \frac{\sin \alpha}{\sqrt{n^2 - \sin^2 \alpha}}$

$L = 2 \cdot \frac{\sin 30^\circ}{\sqrt{1.33^2 - (\sin 30^\circ)^2}} = 2 \cdot \frac{0.5}{\sqrt{1.7689 - 0.25}} = \frac{1}{\sqrt{1.5189}} \approx \frac{1}{1.232} \approx 0.81$ м.

Ответ: длина тени сваи на дне составляет примерно 0,81 м.