Номер 7, страница 29, часть 3 - гдз по физике 9 класс рабочая тетрадь Грачев, Погожев

Часть 3. Глава 8. Оптика. Параграф 43. Закон преломления света на плоской границе двух однородных прозрачных сред - номер 7, страница 29.

Условие.

7. Луч света падает на границу раздела двух однородных прозрачных сред в точке A (рис. 27). В первой среде этот луч идёт вдоль прямой 1, а во второй среде — вдоль прямой 2. Какой номер на этом рисунке имеет прямая, вдоль которой пойдёт луч того же цвета после преломления, если он будет идти в первой среде вдоль прямой 3?

1) 6

2) 5

3) 4

4) на рисунке нет такой прямой

Отметьте знаком «Х» правильный вариант ответа.

1) []

2) []

3) []

4) []

Рис. 27

Решение.

Решение:

Закон преломления света (закон Снеллиуса) устанавливает связь между углом падения $ \alpha $ и углом преломления $ \gamma $:

$ n_1 \sin\alpha = n_2 \sin\gamma $

где $ n_1 $ и $ n_2 $ — показатели преломления первой и второй сред соответственно. Углы отсчитываются от нормали (перпендикуляра) к границе раздела сред. В данном случае граница раздела горизонтальна, а нормаль — вертикальна.

Для решения задачи введём систему координат с началом в точке A, осью OY, направленной вертикально вверх (вдоль нормали), и осью OX, направленной горизонтально вправо. Показатели преломления $ n_1 $ (верхняя среда) и $ n_2 $ (нижняя среда) постоянны.

Из соотношения $ n_1 \sin\alpha = n_2 \sin\gamma $ следует, что $ \frac{\sin\alpha}{\sin\gamma} = \frac{n_2}{n_1} = \text{const} $.

1. Рассмотрим первый случай: падающий луч идёт вдоль прямой 1, преломлённый — вдоль прямой 2.

Прямая 1 проходит через точку с координатами $ P_1(-2, 4) $. Длина этого отрезка $ L_1 = \sqrt{(-2)^2 + 4^2} = \sqrt{4+16} = \sqrt{20} $. Угол падения $ \alpha_1 $ — это угол между лучом 1 и осью OY. Синус этого угла равен $ \sin\alpha_1 = \frac{|x_1|}{L_1} = \frac{2}{\sqrt{20}} $.

Прямая 2 проходит через точку $ P_2(1, -4) $. Длина этого отрезка $ L_2 = \sqrt{1^2 + (-4)^2} = \sqrt{1+16} = \sqrt{17} $. Угол преломления $ \gamma_1 $ — это угол между лучом 2 и осью OY. Синус этого угла равен $ \sin\gamma_1 = \frac{|x_2|}{L_2} = \frac{1}{\sqrt{17}} $.

2. Рассмотрим второй случай: падающий луч идёт вдоль прямой 3. Найдём его преломлённый луч.

Прямая 3 проходит через точку $ P_3(-4, 2) $. Длина этого отрезка $ L_3 = \sqrt{(-4)^2 + 2^2} = \sqrt{16+4} = \sqrt{20} $. Угол падения $ \alpha_2 $ — это угол между лучом 3 и осью OY. Синус этого угла равен $ \sin\alpha_2 = \frac{|x_3|}{L_3} = \frac{4}{\sqrt{20}} $.

Сравним синусы углов падения: $ \sin\alpha_2 = \frac{4}{\sqrt{20}} $ и $ \sin\alpha_1 = \frac{2}{\sqrt{20}} $. Видно, что $ \sin\alpha_2 = 2 \sin\alpha_1 $.

Пусть $ \gamma_2 $ — искомый угол преломления для второго случая. Запишем закон Снеллиуса для обоих случаев:

$ n_1 \sin\alpha_1 = n_2 \sin\gamma_1 $

$ n_1 \sin\alpha_2 = n_2 \sin\gamma_2 $

Разделив второе уравнение на первое, получим: $ \frac{\sin\alpha_2}{\sin\alpha_1} = \frac{\sin\gamma_2}{\sin\gamma_1} $.

Отсюда $ \sin\gamma_2 = \sin\gamma_1 \cdot \frac{\sin\alpha_2}{\sin\alpha_1} $. Так как $ \sin\alpha_2 = 2 \sin\alpha_1 $, то $ \sin\gamma_2 = \sin\gamma_1 \cdot 2 $.

Подставим значение $ \sin\gamma_1 $: $ \sin\gamma_2 = 2 \cdot \frac{1}{\sqrt{17}} = \frac{2}{\sqrt{17}} $.

3. Проверим, какая из прямых 4, 5 или 6 соответствует найденному значению.

Прямая 6: проходит через точку $ P_6(4, -2) $. $ L_6 = \sqrt{4^2 + (-2)^2} = \sqrt{20} $. Синус угла $ \gamma_6 $ равен $ \sin\gamma_6 = \frac{|x_6|}{L_6} = \frac{4}{\sqrt{20}} = \frac{2}{\sqrt{5}} $. Это не равно $ \frac{2}{\sqrt{17}} $.

Прямая 4: проходит через точку $ P_4(1, -8) $. $ L_4 = \sqrt{1^2 + (-8)^2} = \sqrt{65} $. Синус угла $ \gamma_4 $ равен $ \sin\gamma_4 = \frac{|x_4|}{L_4} = \frac{1}{\sqrt{65}} $. Это не равно $ \frac{2}{\sqrt{17}} $.

Прямая 5: расположена между прямыми 2 и 4. Угол падения $ \alpha_2 $ больше угла $ \alpha_1 $, следовательно, и угол преломления $ \gamma_2 $ должен быть больше угла $ \gamma_1 $. Угол тем больше, чем дальше луч от нормали. Прямая 5 расположена ближе к нормали, чем прямая 2 (её угол с нормалью меньше), поэтому она не может быть правильным ответом.

Таким образом, ни одна из предложенных прямых (4, 5, 6) не является искомым преломлённым лучом. Правильный луч должен был бы проходить через точку $(x, y)$, для которой $ \frac{|x|}{\sqrt{x^2+y^2}} = \frac{2}{\sqrt{17}} $. Например, через точку $ (2, -\sqrt{13}) $, которой нет на рисунке.

Ответ: 4) на рисунке нет такой прямой

1) ☐ 2) ☐ 3) ☐ 4) ☒