Номер 13, страница 27, часть 3 - гдз по физике 9 класс рабочая тетрадь Грачев, Погожев

Часть 3. Глава 8. Оптика. Параграф 42. Построение изображения в зеркалах - номер 13, страница 27.

Условие.

13. Смотритель маяка, находясь на высоте $\text{h}$ над уровнем моря, увидел в безветренную погоду воздушный шар $Ш$ под углом $\alpha$ к горизонту (рис. 25). Отражение $Ш'$ шара в воде он увидел под углом $\beta$ к горизонту. Определите высоту $Н$, на которой в этот момент находился шар.

Решение.

Рис. 25

<

Ответ: ___________.

Решение.

Дано:

Высота, на которой находится смотритель маяка: $h$

Угол, под которым виден воздушный шар к горизонту: $\alpha$

Угол, под которым видно отражение шара в воде к горизонту: $\beta$

Найти:

Высота, на которой находился шар: $H$

Решение:

Задача решается с помощью геометрической оптики и тригонометрии. Поверхность воды в безветренную погоду является плоским зеркалом. Согласно законам отражения, изображение предмета в плоском зеркале (в данном случае, отражение шара $Ш'$) находится на таком же расстоянии за зеркалом, на каком предмет ($Ш$) находится перед ним. Таким образом, если шар находится на высоте $H$ над водой, его отражение будет казаться на глубине $H$ под водой.

Введем горизонтальное расстояние $d$ от маяка до вертикали, на которой находится шар. Рассмотрим два прямоугольных треугольника.

1. Первый треугольник образуется при наблюдении самого шара $Ш$. Его катетами являются горизонтальное расстояние $d$ и вертикальное расстояние от уровня глаз наблюдателя до шара, равное $H - h$. Угол, под которым виден шар, равен $\alpha$. Из определения тангенса угла в прямоугольном треугольнике следует:

$ \tan \alpha = \frac{H - h}{d} $

Отсюда можно выразить расстояние $d$:

$ d = \frac{H - h}{\tan \alpha} $

2. Второй треугольник образуется при наблюдении отражения шара $Ш'$. Его катетами являются то же горизонтальное расстояние $d$ и вертикальное расстояние от уровня глаз наблюдателя до отражения шара. Это расстояние равно сумме высоты наблюдателя над водой $h$ и глубины отражения $H$, то есть $H + h$. Угол, под которым видно отражение, равен $\beta$. Запишем соответствующее тригонометрическое соотношение:

$ \tan \beta = \frac{H + h}{d} $

Отсюда также выразим расстояние $d$:

$ d = \frac{H + h}{\tan \beta} $

Поскольку левые части полученных выражений для $d$ равны, мы можем приравнять и правые части:

$ \frac{H - h}{\tan \alpha} = \frac{H + h}{\tan \beta} $

Теперь решим это уравнение относительно искомой высоты $H$. Используем свойство пропорции (перекрестное умножение):

$ (H - h) \cdot \tan \beta = (H + h) \cdot \tan \alpha $

Раскроем скобки:

$ H \tan \beta - h \tan \beta = H \tan \alpha + h \tan \alpha $

Сгруппируем члены, содержащие $H$, с одной стороны уравнения, а остальные — с другой:

$ H \tan \beta - H \tan \alpha = h \tan \alpha + h \tan \beta $

Вынесем общие множители $H$ и $h$ за скобки:

$ H(\tan \beta - \tan \alpha) = h(\tan \alpha + \tan \beta) $

Наконец, выразим $H$:

$ H = h \frac{\tan \alpha + \tan \beta}{\tan \beta - \tan \alpha} $

Ответ: $H = h \frac{\tan \beta + \tan \alpha}{\tan \beta - \tan \alpha}$