Номер 12, страница 26, часть 3 - гдз по физике 9 класс рабочая тетрадь Грачев, Погожев

Часть 3. Глава 8. Оптика. Параграф 42. Построение изображения в зеркалах - номер 12, страница 26.

Условие.

12. На рис. 24 показан вид сверху, на котором изображены стоящее вертикально плоское зеркало 3 и два школьника – Андрей (А) и Василий (В). Андрей стоит неподвижно, а Василий приближается к зеркалу, двигаясь перпендикулярно ему вдоль прямой, проходящей через середину зеркала. Пренебрегая размерами школьников, оцените (по рисунку) расстояние от Василия до зеркала в тот момент, когда школьники впервые увидят в нём друг друга.

Рис. 24

$L = 1\text{м}$

$\text{L}$

3

$\vec{v}$

$\text{L}$

A

B

Решение.

Дано:

Длина плоского зеркала $L = 1$ м.

Андрей (А) стоит неподвижно. Расстояние от Андрея до плоскости зеркала равно $L = 1$ м. Горизонтальное расстояние от Андрея до правого края зеркала также равно $L = 1$ м.

Василий (В) движется к зеркалу по прямой, перпендикулярной зеркалу и проходящей через его середину.

Все данные уже в системе СИ.

Найти:

Расстояние от Василия до зеркала $x$ в тот момент, когда школьники впервые увидят друг друга.

Решение:

Для того чтобы Андрей и Василий увидели друг друга в зеркале, световой луч, испущенный одним из них, должен отразиться от поверхности зеркала и попасть в глаз другому. Удобнее всего решать такие задачи, используя понятие мнимого изображения. Плоское зеркало создает мнимое изображение объекта, которое находится за зеркалом на том же расстоянии, что и объект перед ним, и на той же нормали.

Пусть Андрей (А) видит в зеркале Василия (В). Это эквивалентно тому, что Андрей видит мнимое изображение Василия (В'). И наоборот, Василий видит мнимое изображение Андрея (А'). Увидеть друг друга они смогут в тот момент, когда прямая, соединяющая одного школьника с мнимым изображением другого, пересечет поверхность зеркала.

Рассмотрим ситуацию, когда Василий видит мнимое изображение Андрея. Построим мнимое изображение Андрея, А'. Оно будет находиться за зеркалом на расстоянии $L$ от его плоскости.

Введем систему координат для удобства. Пусть ось $Y$ совпадает с плоскостью зеркала, а ось $X$ перпендикулярна ей и проходит через середину зеркала. Центр зеркала будет в точке (0, 0). Тогда края зеркала будут в точках с координатами (0, $-L/2$) и (0, $L/2$).

Василий (В) движется вдоль оси $X$. Его координаты $B(x, 0)$, где $x$ - искомое расстояние.

Найдем координаты Андрея (А). Он находится на расстоянии $L$ от зеркала, т.е. его координата по оси $X$ равна $L$. Горизонтальное расстояние от него до правого края зеркала ($y = L/2$) равно $L$. Значит, его координата по оси $Y$ будет $y_A = L/2 + L = 3L/2$. Таким образом, координаты Андрея $A(L, 3L/2)$.

Координаты мнимого изображения Андрея, А', будут $A'(-L, 3L/2)$.

Василий впервые увидит Андрея в тот момент, когда луч зрения от Василия (В) к мнимому изображению Андрея (А') начнет проходить через край зеркала. Поскольку Василий приближается к зеркалу (его координата $x$ уменьшается), он сначала не видит изображение, а потом, при некотором $x$, линия ВА' коснется края зеркала. Из-за симметрии расположения В относительно зеркала и асимметрии А, луч коснется одного из краев.

Рассмотрим подобные треугольники, образованные линией зрения ВА' и перпендикулярами к зеркалу.Рассмотрим случай, когда луч зрения проходит через правый край зеркала с координатой $y = L/2$.Образуются два подобных прямоугольных треугольника.
Первый треугольник имеет катеты: расстояние от Василия до зеркала ($x$) и расстояние от оси движения Василия до правого края зеркала ($L/2$).
Второй треугольник имеет катеты: расстояние от мнимого изображения Андрея до зеркала ($L$) и расстояние от проекции А' на ось Y до правого края зеркала ($3L/2 - L/2 = L$).

Из подобия треугольников следует отношение катетов:

$\frac{x}{L/2} = \frac{L}{L}$

$\frac{x}{L/2} = 1$

$x = L/2$

Рассмотрим случай, когда луч зрения проходит через левый край зеркала с координатой $y = -L/2$.
Первый треугольник (со стороны Василия) имеет катеты $x$ и $L/2$.
Второй треугольник (со стороны изображения Андрея) имеет катеты $L$ и $3L/2 - (-L/2) = 2L$.

Из подобия треугольников:

$\frac{x}{L/2} = \frac{L}{2L}$

$\frac{x}{L/2} = \frac{1}{2}$

$x = L/4$

Мы получили два значения для расстояния $x$: $L/2$ и $L/4$. Эти значения определяют диапазон расстояний, на которых Василий может видеть Андрея через какую-либо часть зеркала. То есть, они видят друг друга, когда расстояние $x$ находится в интервале $[L/4, L/2]$.

По условию, Василий приближается к зеркалу, то есть его расстояние $x$ до зеркала уменьшается. Он сможет увидеть Андрея, когда войдет в область видимости. Это произойдет при максимальном расстоянии из найденного диапазона.

Следовательно, впервые они увидят друг друга, когда расстояние от Василия до зеркала будет $x = L/2$.

Подставим значение $L = 1$ м:

$x = 1 / 2 = 0.5$ м.

Ответ: Расстояние от Василия до зеркала в тот момент, когда школьники впервые увидят в нём друг друга, равно 0.5 м.