Номер 1, страница 122 - гдз по физике 9 класс учебник Грачев, Погожев

Глава 2. Динамика. Параграф 19. Движение планет. Искусственные спутники. Упражнения - номер 1, страница 122.

Условие.

1. Определите период обращения и модуль скорости движения искусственного спутника Земли, радиус круговой орбиты которого равен четырём радиусам Земли.

Решение.

Дано:

Радиус орбиты спутника, $r = 4R_З$

Справочные данные:

Гравитационная постоянная, $G \approx 6.67 \cdot 10^{-11} \frac{Н \cdot м^2}{кг^2}$

Масса Земли, $M_З \approx 6 \cdot 10^{24} кг$

Средний радиус Земли, $R_З \approx 6400 \text{ км}$

Перевод в СИ:
$R_З = 6.4 \cdot 10^6 \text{ м}$
$r = 4 \cdot 6.4 \cdot 10^6 \text{ м} = 25.6 \cdot 10^6 \text{ м}$

Найти:

Период обращения, $\text{T}$ - ?

Модуль скорости, $\text{v}$ - ?

Решение:

Спутник движется по круговой орбите под действием силы всемирного тяготения со стороны Земли. Эта сила является центростремительной силой, которая удерживает спутник на орбите. По второму закону Ньютона:

$F_{тяг} = ma_ц$

где $F_{тяг}$ – сила тяготения, $\text{m}$ – масса спутника, $a_ц$ – центростремительное ускорение.

Сила тяготения определяется законом всемирного тяготения:

$F_{тяг} = G \frac{M_З m}{r^2}$

Центростремительное ускорение спутника, движущегося со скоростью $\text{v}$ по окружности радиусом $\text{r}$, равно:

$a_ц = \frac{v^2}{r}$

Приравняем правые части уравнений:

$G \frac{M_З m}{r^2} = m \frac{v^2}{r}$

Сократив массу спутника $\text{m}$ и радиус $\text{r}$, выразим модуль скорости $\text{v}$:

$v^2 = \frac{G M_З}{r}$

$v = \sqrt{\frac{G M_З}{r}}$

Подставим числовые значения:

$v = \sqrt{\frac{6.67 \cdot 10^{-11} \frac{Н \cdot м^2}{кг^2} \cdot 6 \cdot 10^{24} \text{ кг}}{25.6 \cdot 10^6 \text{ м}}} \approx \sqrt{\frac{40.02 \cdot 10^{13}}{25.6 \cdot 10^6}} \frac{м}{с} \approx \sqrt{1.563 \cdot 10^7} \frac{м}{с} \approx 3954 \frac{м}{с}$

Таким образом, модуль скорости движения спутника $v \approx 3.95 \frac{км}{с}$.

Период обращения $\text{T}$ – это время одного полного оборота спутника вокруг Земли. Его можно найти, зная длину орбиты (длину окружности $L=2 \pi r$) и скорость движения:

$T = \frac{L}{v} = \frac{2 \pi r}{v}$

Подставим числовые значения:

$T = \frac{2 \pi \cdot 25.6 \cdot 10^6 \text{ м}}{3954 \frac{м}{с}} \approx \frac{1.608 \cdot 10^8 \text{ м}}{3954 \frac{м}{с}} \approx 40670 \text{ с}$

Для наглядности можно перевести это время в часы, зная, что в одном часе 3600 секунд:

$T \approx \frac{40670}{3600} \text{ ч} \approx 11.3 \text{ ч}$

Ответ: модуль скорости движения спутника $v \approx 3.95 \frac{км}{с}$; период обращения $T \approx 40670 \text{ с}$ (или $11.3 \text{ ч}$).