Номер 2, страница 122 - гдз по физике 9 класс учебник Грачев, Погожев

Глава 2. Динамика. Параграф 19. Движение планет. Искусственные спутники. Упражнения - номер 2, страница 122.

Условие.

2. Известно, что геостационарным спутником называют искусственный спутник Земли, период обращения которого равен периоду вращения Земли вокруг своей оси — 24 ч. Поэтому такой спутник находится всё время над одной и той же точкой поверхности Земли. Рассчитайте радиус круговой орбиты геостационарного спутника.

Решение.

Дано:

$T = 24 \text{ ч}$

$G \approx 6,67 \cdot 10^{-11} \frac{\text{Н} \cdot \text{м}^2}{\text{кг}^2}$ (гравитационная постоянная)

$M \approx 5,97 \cdot 10^{24} \text{ кг}$ (масса Земли)

$T = 24 \text{ ч} = 24 \cdot 3600 \text{ с} = 86400 \text{ с}$

Найти:

$\text{r}$ - радиус орбиты.

Решение:

Для того чтобы спутник двигался по круговой орбите, на него должна действовать центростремительная сила. В данном случае роль центростремительной силы выполняет гравитационная сила притяжения спутника к Земле.

По второму закону Ньютона:

$F_{ц} = m a_{ц}$

где $\text{m}$ - масса спутника, $a_{ц}$ - его центростремительное ускорение.

Гравитационная сила, действующая на спутник со стороны Земли, определяется законом всемирного тяготения:

$F_{г} = G \frac{M m}{r^2}$

где $\text{M}$ - масса Земли, $\text{r}$ - радиус орбиты (расстояние от центра Земли до спутника).

Приравниваем эти две силы:

$m a_{ц} = G \frac{M m}{r^2}$

Центростремительное ускорение можно выразить через угловую скорость $\omega$ или линейную скорость $\text{v}$. Удобнее использовать период обращения $\text{T}$. Связь между линейной скоростью, радиусом и периодом:

$v = \frac{2 \pi r}{T}$

Центростремительное ускорение:

$a_{ц} = \frac{v^2}{r} = \frac{(2 \pi r / T)^2}{r} = \frac{4 \pi^2 r^2}{T^2 r} = \frac{4 \pi^2 r}{T^2}$

Подставим выражение для $a_ц$ в уравнение сил:

$m \frac{4 \pi^2 r}{T^2} = G \frac{M m}{r^2}$

Сократим массу спутника $\text{m}$ и преобразуем уравнение, чтобы выразить радиус орбиты $\text{r}$:

$\frac{4 \pi^2 r}{T^2} = \frac{G M}{r^2}$

$4 \pi^2 r^3 = G M T^2$

$r^3 = \frac{G M T^2}{4 \pi^2}$

$r = \sqrt[3]{\frac{G M T^2}{4 \pi^2}}$

Теперь подставим числовые значения в систему СИ:

$r = \sqrt[3]{\frac{(6,67 \cdot 10^{-11} \frac{\text{Н} \cdot \text{м}^2}{\text{кг}^2}) \cdot (5,97 \cdot 10^{24} \text{ кг}) \cdot (86400 \text{ с})^2}{4 \cdot (3,14)^2}}$

$r \approx \sqrt[3]{\frac{6,67 \cdot 5,97 \cdot 7465 \cdot 10^{-11} \cdot 10^{24} \cdot 10^3}{4 \cdot 9,86}}$

$r \approx \sqrt[3]{\frac{297260 \cdot 10^{16}}{39,44}} \approx \sqrt[3]{7537 \cdot 10^{16}} \approx \sqrt[3]{7,537 \cdot 10^{19} \cdot 10^3} = \sqrt[3]{75,37 \cdot 10^{21}} \text{ м}$

$r \approx 4,22 \cdot 10^7 \text{ м} = 42200 \text{ км}$

Ответ: радиус круговой орбиты геостационарного спутника составляет приблизительно $4,22 \cdot 10^7$ м или 42200 км.