Номер 8, страница 122 - гдз по физике 9 класс учебник Грачев, Погожев

Глава 2. Динамика. Параграф 19. Движение планет. Искусственные спутники. Вопросы - номер 8, страница 122.

Условие.

8. Что называют первой космической скоростью для Земли?

Решение.

Решение

Первая космическая скорость ($v_1$), также известная как круговая скорость, — это минимальная скорость, которую необходимо сообщить телу, находящемуся на пренебрежимо малой высоте над поверхностью небесного тела (в данном случае Земли), чтобы оно стало его искусственным спутником, движущимся по круговой орбите.

Чтобы тело двигалось по круговой орбите вокруг Земли, действующая на него сила всемирного тяготения должна быть равна центростремительной силе, которая удерживает тело на этой орбите. Запишем это условие в виде уравнения, используя второй закон Ньютона.

Сила всемирного тяготения $F_g$ между Землей массой $\text{M}$ и телом массой $\text{m}$ на расстоянии $\text{R}$ от центра Земли (примем $\text{R}$ равным радиусу Земли) равна:

$F_g = G \frac{M \cdot m}{R^2}$

где $\text{G}$ — гравитационная постоянная.

Центростремительная сила $F_c$, необходимая для движения тела по окружности радиусом $\text{R}$ со скоростью $v_1$, равна:

$F_c = \frac{m v_1^2}{R}$

Приравниваем эти две силы $F_g = F_c$:

$G \frac{M \cdot m}{R^2} = \frac{m v_1^2}{R}$

Сокращаем массу тела $\text{m}$ и радиус $\text{R}$ в обеих частях уравнения:

$v_1^2 = \frac{GM}{R}$

Извлекая квадратный корень, получаем формулу для расчета первой космической скорости:

$v_1 = \sqrt{\frac{GM}{R}}$

Эту формулу можно выразить через ускорение свободного падения у поверхности Земли $\text{g}$. Ускорение свободного падения определяется как $g = \frac{GM}{R^2}$. Отсюда следует, что $GM = gR^2$. Подставим это выражение в формулу для $v_1$:

$v_1 = \sqrt{\frac{gR^2}{R}} = \sqrt{gR}$

Для вычисления численного значения первой космической скорости для Земли используем средние значения: $g \approx 9.8 \text{ м/с}^2$ и средний радиус Земли $R \approx 6.37 \cdot 10^6 \text{ м}$.

$v_1 \approx \sqrt{9.8 \frac{\text{м}}{\text{с}^2} \cdot 6.37 \cdot 10^6 \text{ м}} \approx \sqrt{62.4 \cdot 10^6 \frac{\text{м}^2}{\text{с}^2}} \approx 7900 \frac{\text{м}}{\text{с}} \approx 7.9 \frac{\text{км}}{\text{с}}$

Таким образом, чтобы стать искусственным спутником Земли на низкой околоземной орбите, космический аппарат должен развить скорость около 7.9 км/с. Если его скорость будет меньше, он упадет на Землю, а если больше (но меньше второй космической скорости), его орбита станет эллиптической.

Ответ: Первой космической скоростью для Земли называют минимальную горизонтальную скорость, которую необходимо сообщить телу у поверхности планеты, чтобы оно стало ее искусственным спутником и двигалось по круговой орбите. Численно она равна приблизительно $7.9 \text{ км/с}$.