Номер 3, страница 122 - гдз по физике 9 класс учебник Грачев, Погожев

Глава 2. Динамика. Параграф 19. Движение планет. Искусственные спутники. Упражнения - номер 3, страница 122.

Условие.

*3 Выполните следующие упражнения, используя данные таблицы параграфа:

а) определите центростремительные ускорения Земли, Венеры, Марса и Юпитера в системе отсчёта, связанной с Солнцем;

б) определите модули сил гравитационного действия Солнца на Землю, Венеру, Марс и Юпитер;

в) рассчитайте отношение квадрата периода обращения к кубу радиуса орбиты $ \left(\frac{T^2}{R^3}\right) $ для каждой из указанных выше планет.

Сравнив эти значения, вы получите утверждение, которое называют третьим законом Кеплера;

г) из каких законов физики следует результат, полученный в пункте «в»?

Решение.

Дано:

Для решения задачи воспользуемся табличными данными. Все значения переведены в систему СИ.

Константы:

Гравитационная постоянная, $G \approx 6.67 \times 10^{-11} \text{ Н} \cdot \text{м}^2/\text{кг}^2$

Масса Солнца, $M_С \approx 1.99 \times 10^{30} \text{ кг}$

Данные для планет:

Земля:

Масса, $m_З \approx 5.97 \times 10^{24} \text{ кг}$

Средний радиус орбиты, $R_З \approx 1.50 \times 10^{11} \text{ м}$

Период обращения, $T_З \approx 3.16 \times 10^7 \text{ с}$ (1 год)

Венера:

Масса, $m_В \approx 4.87 \times 10^{24} \text{ кг}$

Средний радиус орбиты, $R_В \approx 1.08 \times 10^{11} \text{ м}$

Период обращения, $T_В \approx 1.94 \times 10^7 \text{ с}$ (224.7 суток)

Марс:

Масса, $m_М \approx 6.42 \times 10^{23} \text{ кг}$

Средний радиус орбиты, $R_М \approx 2.28 \times 10^{11} \text{ м}$

Период обращения, $T_М \approx 5.94 \times 10^7 \text{ с}$ (687 суток)

Юпитер:

Масса, $m_Ю \approx 1.90 \times 10^{27} \text{ кг}$

Средний радиус орбиты, $R_Ю \approx 7.78 \times 10^{11} \text{ м}$

Период обращения, $T_Ю \approx 3.74 \times 10^8 \text{ с}$ (11.86 лет)

Найти:

а) Центростремительные ускорения $a_З, a_В, a_М, a_Ю$.

б) Модули сил гравитационного действия Солнца $F_З, F_В, F_М, F_Ю$.

в) Отношение $\frac{T^2}{R^3}$ для каждой планеты.

г) Законы, из которых следует результат пункта «в».

Решение:

а) определите центростремительные ускорения Земли, Венеры, Марса и Юпитера в системе отсчёта, связанной с Солнцем;

Центростремительное ускорение планеты, движущейся по орбите вокруг Солнца, создается гравитационной силой Солнца. Его можно рассчитать по формуле, вытекающей из закона всемирного тяготения ($F_g = G \frac{M_С m}{R^2}$) и второго закона Ньютона ($F_g = m a_c$). Отсюда получаем:

$a_c = \frac{G M_С}{R^2}$

Вычислим ускорения для каждой планеты:

Земля: $a_З = \frac{6.67 \times 10^{-11} \cdot 1.99 \times 10^{30}}{(1.50 \times 10^{11})^2} = \frac{1.327 \times 10^{20}}{2.25 \times 10^{22}} \approx 0.0059 \text{ м/с}^2$.

Венера: $a_В = \frac{6.67 \times 10^{-11} \cdot 1.99 \times 10^{30}}{(1.08 \times 10^{11})^2} = \frac{1.327 \times 10^{20}}{1.1664 \times 10^{22}} \approx 0.0114 \text{ м/с}^2$.

Марс: $a_М = \frac{6.67 \times 10^{-11} \cdot 1.99 \times 10^{30}}{(2.28 \times 10^{11})^2} = \frac{1.327 \times 10^{20}}{5.1984 \times 10^{22}} \approx 0.00255 \text{ м/с}^2$.

Юпитер: $a_Ю = \frac{6.67 \times 10^{-11} \cdot 1.99 \times 10^{30}}{(7.78 \times 10^{11})^2} = \frac{1.327 \times 10^{20}}{6.0528 \times 10^{23}} \approx 0.000219 \text{ м/с}^2$.

Ответ: $a_З \approx 5.9 \times 10^{-3} \text{ м/с}^2$; $a_В \approx 1.14 \times 10^{-2} \text{ м/с}^2$; $a_М \approx 2.55 \times 10^{-3} \text{ м/с}^2$; $a_Ю \approx 2.19 \times 10^{-4} \text{ м/с}^2$.

б) определите модули сил гравитационного действия Солнца на Землю, Венеру, Марс и Юпитер;

Модуль силы гравитационного действия Солнца на планету определяется законом всемирного тяготения. Также можно использовать найденные в пункте «а» ускорения и второй закон Ньютона: $F = m a_c$.

Вычислим силы для каждой планеты:

Земля: $F_З = m_З a_З = 5.97 \times 10^{24} \text{ кг} \cdot 0.0059 \text{ м/с}^2 \approx 3.52 \times 10^{22} \text{ Н}$.

Венера: $F_В = m_В a_В = 4.87 \times 10^{24} \text{ кг} \cdot 0.0114 \text{ м/с}^2 \approx 5.55 \times 10^{22} \text{ Н}$.

Марс: $F_М = m_М a_М = 6.42 \times 10^{23} \text{ кг} \cdot 0.00255 \text{ м/с}^2 \approx 1.64 \times 10^{21} \text{ Н}$.

Юпитер: $F_Ю = m_Ю a_Ю = 1.90 \times 10^{27} \text{ кг} \cdot 0.000219 \text{ м/с}^2 \approx 4.16 \times 10^{23} \text{ Н}$.

Ответ: $F_З \approx 3.52 \times 10^{22} \text{ Н}$; $F_В \approx 5.55 \times 10^{22} \text{ Н}$; $F_М \approx 1.64 \times 10^{21} \text{ Н}$; $F_Ю \approx 4.16 \times 10^{23} \text{ Н}$.

в) рассчитайте отношение квадрата периода обращения к кубу радиуса орбиты ($\frac{T^2}{R^3}$) для каждой из указанных выше планет.

Рассчитаем это отношение для каждой планеты, используя данные в СИ.

Земля: $\frac{T_З^2}{R_З^3} = \frac{(3.16 \times 10^7)^2}{(1.50 \times 10^{11})^3} = \frac{9.9856 \times 10^{14}}{3.375 \times 10^{33}} \approx 2.96 \times 10^{-19} \text{ с}^2/\text{м}^3$.

Венера: $\frac{T_В^2}{R_В^3} = \frac{(1.94 \times 10^7)^2}{(1.08 \times 10^{11})^3} = \frac{3.7636 \times 10^{14}}{1.2597 \times 10^{33}} \approx 2.99 \times 10^{-19} \text{ с}^2/\text{м}^3$.

Марс: $\frac{T_М^2}{R_М^3} = \frac{(5.94 \times 10^7)^2}{(2.28 \times 10^{11})^3} = \frac{3.528 \times 10^{15}}{1.185 \times 10^{34}} \approx 2.98 \times 10^{-19} \text{ с}^2/\text{м}^3$.

Юпитер: $\frac{T_Ю^2}{R_Ю^3} = \frac{(3.74 \times 10^8)^2}{(7.78 \times 10^{11})^3} = \frac{1.3988 \times 10^{17}}{4.708 \times 10^{35}} \approx 2.97 \times 10^{-19} \text{ с}^2/\text{м}^3$.

Сравнение показывает, что для всех планет Солнечной системы это отношение является примерно постоянной величиной. Это утверждение известно как третий закон Кеплера.

Ответ: Для всех указанных планет отношение $\frac{T^2}{R^3}$ приблизительно равно $2.97 \times 10^{-19} \text{ с}^2/\text{м}^3$.

г) из каких законов физики следует результат, полученный в пункте «в»?

Результат, полученный в пункте «в» (третий закон Кеплера), является следствием двух фундаментальных законов физики, открытых Исааком Ньютоном:

1. Закон всемирного тяготения: $F = G \frac{M m}{R^2}$. Этот закон описывает силу, с которой Солнце притягивает планету.

2. Второй закон Ньютона: $F = m a$. Этот закон связывает силу, действующую на тело, с его массой и ускорением.

При движении планеты по круговой орбите гравитационная сила является центростремительной силой, которая сообщает планете центростремительное ускорение $a_c = \frac{v^2}{R}$. Скорость движения по орбите $v = \frac{2\pi R}{T}$. Тогда $a_c = \frac{(2\pi R/T)^2}{R} = \frac{4\pi^2 R}{T^2}$. Приравняв выражения для силы, получаем:

$G \frac{M_С m}{R^2} = m \frac{4\pi^2 R}{T^2}$

Сократив массу планеты $\text{m}$ и проведя алгебраические преобразования, приходим к соотношению:

$\frac{T^2}{R^3} = \frac{4\pi^2}{G M_С}$

Правая часть этого равенства — константа, зависящая только от массы центрального тела (Солнца), что и доказывает третий закон Кеплера.

Ответ: Результат следует из закона всемирного тяготения и второго закона Ньютона.