Номер 1, страница 22 - гдз по физике 9 класс учебник Громов, Родина

Глава 1. Кинематика. Параграф 4. Скорость при неравномерном движении. Обсудить в классе - номер 1, страница 22.

Условие.

1. Может ли мгновенная скорость быть равной средней скорости?

Решение.

1. Может ли мгновенная скорость быть равной средней скорости?

Да, мгновенная скорость может быть равной средней скорости. Рассмотрим два основных случая.

Случай 1: Равномерное прямолинейное движение.
При равномерном прямолинейном движении скорость тела постоянна в любой момент времени, то есть мгновенная скорость $\text{v}$ не изменяется. Средняя скорость $v_{ср}$ на любом промежутке времени $\Delta t$ определяется как отношение перемещения $\Delta \vec{r}$ к этому промежутку: $v_{ср} = \frac{\Delta \vec{r}}{\Delta t}$. Поскольку движение прямолинейное и равномерное, перемещение равно $\Delta \vec{r} = \vec{v} \cdot \Delta t$. Подставив это в формулу средней скорости, получим: $v_{ср} = \frac{\vec{v} \cdot \Delta t}{\Delta t} = \vec{v}$. Таким образом, при равномерном прямолинейном движении мгновенная скорость в любой момент времени равна средней скорости на любом промежутке времени.

Случай 2: Неравномерное движение.
При неравномерном движении мгновенная скорость тела меняется со временем. Однако, согласно теореме о среднем значении в интегральном исчислении, для любой непрерывной функции (каковой является скорость при большинстве физических процессов) на некотором отрезке времени $[t_1, t_2]$ обязательно найдётся такой момент времени $t_c$ внутри этого отрезка ($t_1 < t_c < t_2$), в который мгновенная скорость будет равна средней скорости на всём отрезке. Средняя скорость определяется как: $v_{ср} = \frac{\Delta x}{\Delta t} = \frac{x(t_2) - x(t_1)}{t_2 - t_1} = \frac{1}{t_2-t_1} \int_{t_1}^{t_2} v(t)dt$. Теорема о среднем гарантирует существование такого $t_c$, что $v(t_c) = v_{ср}$. Например, для равноускоренного прямолинейного движения мгновенная скорость даётся формулой $v(t) = v_0 + at$, а средняя скорость за промежуток времени от $\text{0}$ до $\text{T}$ равна $v_{ср} = \frac{v(0) + v(T)}{2} = \frac{v_0 + (v_0 + aT)}{2} = v_0 + \frac{aT}{2}$. Мгновенная скорость будет равна этой средней скорости в момент времени $t_c$, когда $v(t_c) = v_0 + at_c = v_0 + \frac{aT}{2}$. Отсюда следует, что $t_c = \frac{T}{2}$. То есть, в середине временного интервала.

Ответ: Да, может. При равномерном прямолинейном движении мгновенная скорость всегда равна средней. При неравномерном движении всегда найдётся момент времени, в который мгновенная скорость равна средней скорости на некотором промежутке, включающем этот момент.