Номер 5, страница 271 - гдз по физике 9 класс учебник Хижнякова, Синявина

Глава 10. Строение Вселенной. Элементы научной картины мира. Параграф 53. Планеты-гиганты и малые тела Солнечной системы. Задания и упражнения - номер 5, страница 271.

Условие.

5. Средний радиус орбиты Юпитера равен 778 млн км, а Сатурна — 1 433 млн км. Определите отношение $R^3 / T^2$ для указанных планет (см. таблицу 19). Сравните полученные значения и сделайте вывод, используя третий закон Кеплера.

Решение.

Дано:

Средний радиус орбиты Юпитера, $R_Ю = 778 \text{ млн км}$

Средний радиус орбиты Сатурна, $R_С = 1433 \text{ млн км}$

Для решения задачи воспользуемся справочными данными (аналогично таблице 19):

Период обращения Юпитера вокруг Солнца, $T_Ю = 11,86 \text{ земных лет}$

Период обращения Сатурна вокруг Солнца, $T_С = 29,46 \text{ земных лет}$

Перевод в систему СИ:

$R_Ю = 778 \times 10^6 \text{ км} = 778 \times 10^9 \text{ м} = 7,78 \times 10^{11} \text{ м}$

$R_С = 1433 \times 10^6 \text{ км} = 1433 \times 10^9 \text{ м} = 1,433 \times 10^{12} \text{ м}$

1 год $\approx 3,156 \times 10^7$ с

$T_Ю = 11,86 \text{ лет} \times 3,156 \times 10^7 \frac{\text{с}}{\text{год}} \approx 3,743 \times 10^8 \text{ с}$

$T_С = 29,46 \text{ лет} \times 3,156 \times 10^7 \frac{\text{с}}{\text{год}} \approx 9,299 \times 10^8 \text{ с}$

Найти:

Отношение $\frac{R^3}{T^2}$ для Юпитера и Сатурна, сравнить полученные значения и сделать вывод.

Решение:

Определение отношения $R^3/T^2$ для Юпитера

Сначала возведем в куб средний радиус орбиты Юпитера:

$R_Ю^3 = (7,78 \times 10^{11} \text{ м})^3 \approx 4,708 \times 10^{35} \text{ м}^3$

Затем возведем в квадрат период его обращения:

$T_Ю^2 = (3,743 \times 10^8 \text{ с})^2 \approx 1,401 \times 10^{17} \text{ с}^2$

Теперь найдем искомое отношение для Юпитера:

$\frac{R_Ю^3}{T_Ю^2} = \frac{4,708 \times 10^{35} \text{ м}^3}{1,401 \times 10^{17} \text{ с}^2} \approx 3,36 \times 10^{18} \frac{\text{м}^3}{\text{с}^2}$

Ответ: Отношение $R^3/T^2$ для Юпитера составляет примерно $3,36 \times 10^{18} \frac{\text{м}^3}{\text{с}^2}$.

Определение отношения $R^3/T^2$ для Сатурна

Аналогично проведем вычисления для Сатурна. Возведем в куб средний радиус его орбиты:

$R_С^3 = (1,433 \times 10^{12} \text{ м})^3 \approx 2,942 \times 10^{36} \text{ м}^3$

Возведем в квадрат период обращения Сатурна:

$T_С^2 = (9,299 \times 10^8 \text{ с})^2 \approx 8,647 \times 10^{17} \text{ с}^2$

Найдем отношение для Сатурна:

$\frac{R_С^3}{T_С^2} = \frac{2,942 \times 10^{36} \text{ м}^3}{8,647 \times 10^{17} \text{ с}^2} \approx 3,40 \times 10^{18} \frac{\text{м}^3}{\text{с}^2}$

Ответ: Отношение $R^3/T^2$ для Сатурна составляет примерно $3,40 \times 10^{18} \frac{\text{м}^3}{\text{с}^2}$.

Сравнение полученных значений и вывод

Сравним полученные отношения для двух планет:

Для Юпитера: $3,36 \times 10^{18} \frac{\text{м}^3}{\text{с}^2}$

Для Сатурна: $3,40 \times 10^{18} \frac{\text{м}^3}{\text{с}^2}$

Полученные значения очень близки друг к другу. Небольшое расхождение (около 1.2%) объясняется погрешностями в исходных справочных данных и тем, что в расчетах используются средние радиусы, в то время как реальные орбиты планет являются эллипсами.

Этот результат является практическим подтверждением третьего закона Кеплера. Этот закон гласит, что для всех планет, вращающихся вокруг одного центрального тела (Солнца), отношение кубов больших полуосей их орбит (в нашем случае, средних радиусов) к квадратам периодов их обращения есть величина постоянная:

$\frac{R^3}{T^2} = const$

Таким образом, наши расчеты показывают, что эта константа для Солнечной системы приблизительно равна $3,38 \times 10^{18} \frac{\text{м}^3}{\text{с}^2}$.

Ответ: Вычисленные отношения $R^3/T^2$ для Юпитера и Сатурна практически совпадают, что согласуется с третьим законом Кеплера.