Теоретическое исследование, страница 274 - гдз по физике 9 класс учебник Хижнякова, Синявина

Глава 10. Строение Вселенной. Элементы научной картины мира. Параграф 54. Солнце — одна из звёзд нашей Галактики. Вопросы - страница 274.

Условие.

Теоретическое исследование

Используя второй закон Ньютона и закон всемирного тяготения, выразите массу Солнца через массу Земли $M_3$, радиус Земли $R_3$ и период обращения Земли вокруг Солнца $T_3$.

Решение.

Дано:

Масса Земли: $M_З$

Радиус орбиты Земли: $R_З$

Период обращения Земли вокруг Солнца: $T_З$

Найти:

Массу Солнца $M_С$

Решение

Для решения задачи будем считать, что Земля движется по круговой орбите вокруг Солнца. Это движение происходит под действием силы всемирного тяготения со стороны Солнца. Эта сила является центростремительной силой, которая удерживает Землю на орбите.

Согласно второму закону Ньютона, равнодействующая сил, приложенных к телу, равна произведению массы тела на сообщаемое этой силой ускорение. В данном случае сила, действующая на Землю, — это гравитационная сила $F_g$, а ускорение — центростремительное $a_ц$.

$F_g = M_З \cdot a_ц$

По закону всемирного тяготения, сила притяжения между Солнцем (масса $M_С$) и Землей (масса $M_З$) на расстоянии $R_З$ (радиус орбиты) равна:

$F_g = G \frac{M_С M_З}{R_З^2}$

где $\text{G}$ — гравитационная постоянная.
Примечание: В условии задачи $R_З$ назван "радиусом Земли". Это, скорее всего, опечатка, так как для описания орбитального движения необходим радиус орбиты. В дальнейшем под $R_З$ будем понимать радиус орбиты Земли.

Приравняем два выражения для силы:

$G \frac{M_С M_З}{R_З^2} = M_З \cdot a_ц$

Как видно, масса Земли $M_З$ сокращается с обеих сторон уравнения:

$G \frac{M_С}{R_З^2} = a_ц$

Центростремительное ускорение тела, движущегося по окружности радиусом $R_З$ с линейной скоростью $\text{v}$, вычисляется по формуле:

$a_ц = \frac{v^2}{R_З}$

Линейную скорость можно выразить через период обращения $T_З$. За время $T_З$ Земля проходит путь, равный длине окружности орбиты $2\pi R_З$:

$v = \frac{2\pi R_З}{T_З}$

Подставим выражение для скорости в формулу для центростремительного ускорения:

$a_ц = \frac{( \frac{2\pi R_З}{T_З} )^2}{R_З} = \frac{4\pi^2 R_З^2}{T_З^2 R_З} = \frac{4\pi^2 R_З}{T_З^2}$

Теперь приравняем два полученных выражения для ускорения $a_ц$:

$G \frac{M_С}{R_З^2} = \frac{4\pi^2 R_З}{T_З^2}$

Осталось выразить массу Солнца $M_С$:

$M_С = \frac{4\pi^2 R_З}{T_З^2} \cdot \frac{R_З^2}{G}$

$M_С = \frac{4\pi^2 R_З^3}{G T_З^2}$

В ходе вывода формулы масса Земли $M_З$ сократилась. Это означает, что масса Солнца, определенная таким способом, не зависит от массы Земли. Следовательно, требование в задаче "выразить массу Солнца через массу Земли $M_З$" невыполнимо в рамках данной физической модели.

Ответ: Масса Солнца выражается через радиус орбиты Земли $R_З$ и период ее обращения $T_З$ следующей формулой: $M_С = \frac{4\pi^2 R_З^3}{G T_З^2}$. В итоговой формуле масса Земли $M_З$ отсутствует, так как она сокращается в процессе вывода.