Номер 10, страница 29 - гдз по физике 9 класс учебник Изергин

Глава I. Кинематика. Проверим свои знания по теме главы I - номер 10, страница 29.

Условие.

10. Жонглёр бросил мяч вертикально с начальной скоростью $10 \text{ м/с}$. Через $1 \text{ с}$ он бросил вертикально второй мяч с той же скоростью. На какой высоте мячи встретятся?

1) $4,25 \text{ м}$

2) $3,75 \text{ м}$

3) $2,5 \text{ м}$

4) $1,25 \text{ м}$

Решение.

Дано:

Начальная скорость мячей: $v_0 = 10$ м/с

Задержка броска второго мяча: $\Delta t = 1$ с

Ускорение свободного падения: $g \approx 10$ м/с$^2$ (стандартное допущение для школьных задач, если не указано иное, что подтверждается вариантами ответов)

Все данные предоставлены в системе СИ.

Найти:

Высота встречи мячей: $\text{h}$

Решение:

Запишем уравнение движения для тела, брошенного вертикально вверх. Если направить ось Y вертикально вверх от точки броска, то зависимость высоты $\text{h}$ от времени $\text{t}$ описывается формулой:

$h(t) = v_0 t - \frac{gt^2}{2}$

Пусть $\text{t}$ — это время, прошедшее с момента броска первого мяча. Тогда его высота в любой момент времени $\text{t}$ равна:

$h_1(t) = v_0 t - \frac{gt^2}{2}$

Второй мяч брошен на $\Delta t = 1$ секунду позже, поэтому время его движения в момент $\text{t}$ составляет $(t - \Delta t)$. Его высота в тот же момент времени $\text{t}$ (при условии $t \geq \Delta t$) будет:

$h_2(t) = v_0(t - \Delta t) - \frac{g(t - \Delta t)^2}{2}$

Мячи встретятся в тот момент времени $\text{t}$, когда их высоты будут одинаковы, то есть $h_1(t) = h_2(t)$. Составим уравнение:

$v_0 t - \frac{gt^2}{2} = v_0(t - \Delta t) - \frac{g(t - \Delta t)^2}{2}$

Раскроем скобки в правой части уравнения:

$v_0 t - \frac{gt^2}{2} = v_0 t - v_0 \Delta t - \frac{g(t^2 - 2t\Delta t + (\Delta t)^2)}{2}$

$v_0 t - \frac{gt^2}{2} = v_0 t - v_0 \Delta t - \frac{gt^2}{2} + gt\Delta t - \frac{g(\Delta t)^2}{2}$

Сократим одинаковые члены ($v_0 t$ и $-\frac{gt^2}{2}$) в обеих частях:

$0 = -v_0 \Delta t + gt\Delta t - \frac{g(\Delta t)^2}{2}$

Теперь выразим из этого уравнения время встречи $\text{t}$:

$v_0 \Delta t = gt\Delta t - \frac{g(\Delta t)^2}{2}$

$gt\Delta t = v_0 \Delta t + \frac{g(\Delta t)^2}{2}$

Разделим обе части на $g\Delta t$:

$t = \frac{v_0}{g} + \frac{\Delta t}{2}$

Подставим числовые значения из условия задачи:

$t = \frac{10 \text{ м/с}}{10 \text{ м/с}^2} + \frac{1 \text{ с}}{2} = 1 \text{ с} + 0.5 \text{ с} = 1.5 \text{ с}$

Это время отсчитывается от момента броска первого мяча. Чтобы найти высоту, на которой произойдет встреча, подставим найденное время $t=1.5$ с в уравнение для высоты первого мяча $h_1(t)$:

$h = h_1(1.5) = v_0 \cdot t - \frac{gt^2}{2} = 10 \cdot 1.5 - \frac{10 \cdot (1.5)^2}{2}$

$h = 15 - \frac{10 \cdot 2.25}{2} = 15 - 5 \cdot 2.25 = 15 - 11.25 = 3.75 \text{ м}$

Таким образом, мячи встретятся на высоте 3,75 м. Этот результат соответствует варианту ответа 2).

Ответ: 3,75 м.