Номер 5, страница 43 - гдз по физике 9 класс дидактические материалы Марон, Марон

Тесты для самоконтроля. ТС-7. Механические колебания. Вариант 2 - номер 5, страница 43.

Условие.

5. Определите перемещение, совершаемое грузом, колеблющимся на пружине, за время, равное половине периода колебаний.

А. Перемещение равно половине амплитуды колебаний.

Б. Перемещение равно удвоенной амплитуде колебаний.

В. Перемещение равно нулю.

Решение.

Решение

Гармонические колебания груза на пружине можно описать уравнением $x(t) = A \cos(\omega t + \phi)$, где $x(t)$ — это смещение груза от положения равновесия в момент времени $\text{t}$, $\text{A}$ — это амплитуда (максимальное смещение от положения равновесия), $\omega$ — циклическая частота, а $\phi$ — начальная фаза колебаний.

Период колебаний $\text{T}$ — это время одного полного колебания, он связан с циклической частотой как $T = 2\pi / \omega$.

Перемещение $\Delta x$ — это векторная величина, равная изменению координаты тела за определенный промежуток времени. Для одномерного движения $\Delta x = x_{конечное} - x_{начальное}$.

В задаче требуется найти перемещение за время, равное половине периода, то есть за $\Delta t = T/2$.

Пусть в начальный момент времени $\text{t}$ координата груза была $x(t)$. Найдем его координату в момент времени $t + T/2$:

$x(t + T/2) = A \cos(\omega(t + T/2) + \phi) = A \cos(\omega t + \omega T/2 + \phi)$.

Подставим значение $\omega T/2 = (2\pi/T) \cdot (T/2) = \pi$:

$x(t + T/2) = A \cos(\omega t + \phi + \pi)$.

Используя тригонометрическое тождество $\cos(\alpha + \pi) = -\cos(\alpha)$, получаем:

$x(t + T/2) = -A \cos(\omega t + \phi) = -x(t)$.

Это означает, что через половину периода груз всегда оказывается в положении, симметричном начальному относительно положения равновесия.

Теперь можем найти перемещение $\Delta x$ за это время:

$\Delta x = x(t + T/2) - x(t) = -x(t) - x(t) = -2x(t)$.

Из полученной формулы видно, что перемещение зависит от начального положения груза $x(t)$.

• Если груз в начальный момент находится в положении равновесия, то $x(t) = 0$. Тогда его перемещение за половину периода будет равно $\Delta x = -2 \cdot 0 = 0$.
• Если груз в начальный момент находится в крайнем положении, то его координата равна амплитуде, $x(t) = A$ или $x(t) = -A$. Тогда его перемещение будет равно $\Delta x = -2A$ или $\Delta x = 2A$. Модуль перемещения в этом случае будет максимальным и равным $\text{2A}$.

Поскольку в вопросе требуется дать один однозначный ответ, а модуль перемещения может принимать любое значение в диапазоне от 0 до $\text{2A}$, необходимо выбрать наиболее характерный случай. Движение от одного крайнего положения до другого (например, от $+A$ до $-A$) занимает ровно половину периода и наиболее полно характеризует размах колебаний. Величина перемещения в этом случае равна удвоенной амплитуде. Также стоит отметить, что путь, пройденный телом за половину периода, всегда равен $\text{2A}$. Учитывая это, наиболее вероятным ответом является удвоенная амплитуда.

Ответ: Б. Перемещение равно удвоенной амплитуде колебаний.