Номер 622, страница 92 - гдз по физике 9 класс сборник вопросов и задач Марон, Марон

Механические волны. Звук. Механические колебания и волны. Звук - номер 622, страница 92.

622. Определите расстояние до пролетающего самолёта в момент, когда наблюдатель услышал звук, если высота полёта 4 км, скорость самолёта 510 м/с.

Дано:

Высота полёта, $h = 4 \ км$
Скорость самолёта, $v_{с} = 510 \ м/с$
Скорость звука в воздухе (примем), $v_{зв} = 340 \ м/с$

Перевод в систему СИ:
$h = 4 \ км = 4000 \ м$

Найти:

Расстояние до самолёта $L$ в момент, когда наблюдатель услышал звук.

Решение:

Так как скорость самолёта ($v_{с} = 510 \ м/с$) превышает скорость звука в воздухе ($v_{зв} \approx 340 \ м/с$), самолёт движется со сверхзвуковой скоростью. При таком движении возникает ударная волна, фронт которой имеет форму конуса, называемого конусом Маха. Наблюдатель на земле слышит характерный громкий звук (звуковой удар) именно в тот момент, когда его достигает поверхность этого конуса.

Половина угла при вершине конуса Маха, угол $\alpha$ (между направлением движения и поверхностью конуса), определяется соотношением скоростей:
$\sin(\alpha) = \frac{v_{зв}}{v_{с}}$

Рассмотрим геометрию задачи. В момент, когда наблюдатель (в точке О) слышит звук, самолёт находится в точке В на высоте $h$ над землёй. Точка С — проекция самолёта на землю. Расстояние, которое нужно найти, — это длина гипотенузы $L$ (отрезок ВО) в прямоугольном треугольнике ВСО.

В этом треугольнике:
- катет ВС — это высота полёта $h$.
- гипотенуза ВО — искомое расстояние $L$.

Угол $\alpha$ конуса Маха является углом между вектором скорости самолёта (горизонтальная линия, проходящая через В) и линией ВО, соединяющей самолёт и наблюдателя. Из геометрии прямоугольного треугольника ВСО следует, что $\sin(\alpha)$ можно также выразить через отношение высоты $h$ к расстоянию $L$:
$\sin(\alpha) = \frac{BC}{BO} = \frac{h}{L}$

Приравняв два выражения для $\sin(\alpha)$, получим:
$\frac{h}{L} = \frac{v_{зв}}{v_{с}}$

Из этого уравнения выразим искомое расстояние $L$:
$L = h \cdot \frac{v_{с}}{v_{зв}}$

Подставим числовые значения в формулу:
$L = 4000 \ м \cdot \frac{510 \ м/с}{340 \ м/с} = 4000 \cdot \frac{51}{34} = 4000 \cdot \frac{3 \cdot 17}{2 \cdot 17} = 4000 \cdot \frac{3}{2} = 6000 \ м$

Переведём результат в километры: $6000 \ м = 6 \ км$.

Ответ: расстояние до пролетающего самолёта в момент, когда наблюдатель услышал звук, составляет 6 км.