Номер 3, страница 79 - гдз по физике 9 класс учебник Пёрышкин, Гутник

3. Коробку равномерно тянут по горизонтальной поверхности с помощью верёвки, составляющей с горизонтом угол 60°. Определите массу коробки, если сила натяжения равна 12 Н, коэффициент трения — 0,3.

Дано:

Угол верёвки с горизонтом: $\alpha = 60^\circ$

Сила натяжения верёвки: $T = 12$ Н

Коэффициент трения скольжения: $\mu = 0,3$

Ускорение свободного падения: $g \approx 10 \, \text{м/с}^2$

Найти:

Массу коробки: $m$

Решение:

На коробку действуют четыре силы: сила тяжести ($\vec{F}_g$), направленная вертикально вниз; сила реакции опоры ($\vec{N}$), направленная вертикально вверх; сила натяжения верёвки ($\vec{T}$), направленная под углом $\alpha$ к горизонту; и сила трения скольжения ($\vec{F}_{тр}$), направленная горизонтально против движения.

Поскольку коробка движется равномерно, её ускорение равно нулю ($a=0$). Согласно второму закону Ньютона, векторная сумма всех действующих на тело сил равна нулю:$\vec{T} + \vec{F}_g + \vec{N} + \vec{F}_{тр} = 0$

Запишем это уравнение в проекциях на оси координат. Ось $OX$ направим горизонтально в сторону движения, а ось $OY$ — вертикально вверх.

Проекция на ось $OX$:$T_x - F_{тр} = 0$, где $T_x = T \cos \alpha$ — горизонтальная составляющая силы натяжения.Отсюда следует, что горизонтальная составляющая силы натяжения уравновешивает силу трения:$T \cos \alpha = F_{тр}$

Проекция на ось $OY$:$N + T_y - F_g = 0$, где $T_y = T \sin \alpha$ — вертикальная составляющая силы натяжения, а $F_g = mg$ — сила тяжести.$N + T \sin \alpha - mg = 0$Выразим отсюда силу реакции опоры $N$. Сила натяжения помогает "приподнимать" коробку, поэтому сила реакции опоры будет меньше силы тяжести:$N = mg - T \sin \alpha$

Сила трения скольжения определяется по формуле:$F_{тр} = \mu N$

Теперь объединим полученные уравнения. Подставим выражение для силы реакции опоры $N$ в формулу силы трения:$F_{тр} = \mu (mg - T \sin \alpha)$

Так как из проекции на ось $OX$ мы знаем, что $F_{тр} = T \cos \alpha$, мы можем приравнять два выражения для силы трения:$T \cos \alpha = \mu (mg - T \sin \alpha)$

Теперь решим это уравнение относительно массы $m$. Сначала раскроем скобки:$T \cos \alpha = \mu mg - \mu T \sin \alpha$

Перенесём член, не содержащий массу, в левую часть:$T \cos \alpha + \mu T \sin \alpha = \mu mg$

Вынесем силу натяжения $T$ за скобки в левой части:$T (\cos \alpha + \mu \sin \alpha) = \mu mg$

Наконец, выразим массу $m$:$m = \frac{T (\cos \alpha + \mu \sin \alpha)}{\mu g}$

Подставим числовые значения в полученную формулу.Значения тригонометрических функций для угла $60^\circ$:$\cos(60^\circ) = 0,5$$\sin(60^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2} \approx 0,866$

$m = \frac{12 \, \text{Н} \cdot (0,5 + 0,3 \cdot 0,866)}{0,3 \cdot 10 \, \text{м/с}^2} = \frac{12 \cdot (0,5 + 0,2598)}{3} \, \text{кг}$

$m = 4 \cdot (0,7598) \, \text{кг} = 3,0392 \, \text{кг}$

Округлим результат до сотых.

Ответ: $m \approx 3,04 \, \text{кг}$.