Страница 135 - гдз по физике 9 класс учебник Пёрышкин, Гутник

1. Что можно сказать о механической энергии колеблющегося маятника в любой момент времени, если допустить, что потерь энергии нет? Согласно какому закону это можно утверждать?

1. Решение

Если предположить, что потерь энергии нет, то речь идет об идеальной механической системе, в которой отсутствуют силы трения и сопротивление среды. В такой системе полная механическая энергия колеблющегося маятника будет оставаться постоянной (сохраняться) в любой момент времени.

Полная механическая энергия ($E_{мех}$) является суммой кинетической энергии ($E_k$), связанной с движением тела, и потенциальной энергии ($E_p$), связанной с его положением в поле силы тяжести: $E_{мех} = E_k + E_p = \text{const}$

Во время колебаний происходит непрерывное превращение одного вида энергии в другой:

- В крайних точках траектории, где маятник достигает максимальной высоты и на мгновение замирает, его скорость равна нулю. Следовательно, кинетическая энергия в этих точках равна нулю ($E_k = 0$), а потенциальная энергия максимальна ($E_p = E_{p_{max}}$). Вся механическая энергия системы сосредоточена в потенциальной энергии: $E_{мех} = E_{p_{max}}$.

- При прохождении положения равновесия (самой низкой точки траектории) маятник имеет максимальную скорость, а его высота минимальна (ее уровень принимается за ноль). Поэтому в этой точке кинетическая энергия максимальна ($E_k = E_{k_{max}}$), а потенциальная равна нулю ($E_p = 0$). Вся механическая энергия переходит в кинетическую: $E_{мех} = E_{k_{max}}$.

- В любом другом промежуточном положении маятник обладает и кинетической, и потенциальной энергией, но их сумма всегда остается неизменной и равной полной механической энергии.

Данное утверждение следует из закона сохранения механической энергии. Этот фундаментальный закон физики гласит, что в замкнутой системе, где работа всех неконсервативных сил (таких как сила трения) равна нулю, полная механическая энергия сохраняется. В случае идеального маятника единственной силой, совершающей работу, является консервативная сила тяжести. Сила натяжения нити работу не совершает, так как она всегда направлена перпендикулярно вектору скорости маятника.

Ответ: Если потерь энергии нет, то полная механическая энергия колеблющегося маятника в любой момент времени остается постоянной. Утверждать это можно согласно закону сохранения механической энергии.

2. Как меняется с течением времени амплитуда свободных колебаний, происходящих в реальных условиях? В чём причина такого изменения?

1.Решение: Утверждение о том, что свободные колебания в реальной системе не могут продолжаться бесконечно долго, основывается на законе сохранения и превращения энергии. В любой реальной колебательной системе всегда присутствуют силы сопротивления, такие как сила трения или сила сопротивления воздуха. Эти силы совершают отрицательную работу, в результате чего механическая энергия колебательной системы (сумма кинетической и потенциальной энергии) не сохраняется, а постепенно переходит во внутреннюю энергию (теплоту), нагревая колеблющееся тело и окружающую среду. Поскольку энергия системы уменьшается, амплитуда колебаний, которая определяет максимальный запас энергии, также со временем уменьшается, и в итоге колебания затухают.

Ответ: Такое утверждение можно сделать согласно закону сохранения и превращения энергии.

2.Решение: С течением времени амплитуда свободных колебаний, происходящих в реальных условиях, уменьшается. Такие колебания называются затухающими. Причиной такого изменения является наличие диссипативных сил — сил трения и сопротивления среды. Эти силы всегда направлены против скорости движения тела и совершают отрицательную работу. Эта работа приводит к потере полной механической энергии системы $E_{мех}$. Энергия колебаний пропорциональна квадрату их амплитуды ($A$). Например, для пружинного маятника полная энергия равна $E = \frac{kA^2}{2}$, где $k$ — жесткость пружины. Поскольку механическая энергия расходуется на преодоление сил сопротивления и переходит в теплоту, амплитуда колебаний со временем убывает до нуля, и колебания прекращаются.

Ответ: В реальных условиях амплитуда свободных колебаний со временем уменьшается. Причиной этого является потеря механической энергии системы из-за работы сил трения и сопротивления среды.

3.Решение: Вопрос "Где..." является неполным. Предположим, что полный вопрос звучит так: "Где наблюдаются или применяются затухающие колебания?". Затухающие колебания — это повсеместное явление. Мы наблюдаем их постоянно: качели, остановленные силой трения; звук гитарной струны, который постепенно затихает; маятник часов, который в конце концов остановится, если его не подзаводить. В технике затухание колебаний часто является не только наблюдаемым, но и целенаправленно создаваемым процессом. Ярким примером служат автомобильные амортизаторы, которые предназначены для быстрого гашения колебаний подвески после проезда неровностей, обеспечивая комфорт и безопасность. Другой пример — стрелочные измерительные приборы (амперметры, вольтметры), где демпфирующий механизм обеспечивает быструю остановку стрелки на нужном значении, предотвращая ее длительные колебания. В строительстве специальные демпферы используются для гашения колебаний высотных зданий и мостов, вызванных ветром или сейсмической активностью.

Ответ: Затухающие колебания наблюдаются в большинстве механических систем в повседневной жизни (например, качели, маятники). Они целенаправленно применяются в технике для гашения нежелательных вибраций, например, в автомобильных амортизаторах, измерительных приборах и демпферах для зданий.

3. Где быстрее прекратятся колебания маятника — в воздухе или в воде? Почему? (Начальный запас энергии в обоих случаях одинаков.)

Решение

Колебания любого маятника в реальных условиях являются затухающими. Это происходит из-за наличия сил сопротивления среды (воздуха, воды и т.д.), которые противодействуют движению. Эти силы совершают отрицательную работу, в результате чего механическая энергия маятника постепенно превращается во внутреннюю энергию (нагревая маятник и окружающую среду), и колебания прекращаются.

Ключевым фактором, определяющим, как быстро затухнут колебания, является величина силы сопротивления среды. Эта сила, в свою очередь, сильно зависит от плотности среды, в которой происходят колебания.

Сравним плотности воздуха и воды:

• Плотность воды ($\rho_{воды}$) составляет примерно $1000 \text{ кг/м}^3$.
• Плотность воздуха ($\rho_{воздуха}$) составляет примерно $1.2 \text{ кг/м}^3$.

Плотность воды почти в 800 раз больше плотности воздуха. Сила сопротивления среды прямо пропорциональна ее плотности. Следовательно, при движении в воде маятник испытывает значительно большую силу сопротивления, чем при движении в воздухе.

Поскольку начальный запас энергии в обоих случаях одинаков, а в воде энергия расходуется на преодоление силы сопротивления гораздо интенсивнее, то и колебания в воде затухнут значительно быстрее, чем в воздухе.

Ответ: колебания маятника быстрее прекратятся в воде. Причина в том, что плотность воды намного больше плотности воздуха. Из-за этого сила сопротивления, действующая на маятник в воде, значительно превосходит силу сопротивления в воздухе. Это приводит к более быстрой потере механической энергии и, соответственно, к более быстрому затуханию колебаний.

4. Могут ли свободные колебания быть незатухающими? Почему? Что необходимо делать для того, чтобы колебания были незатухающими?

4. Могут ли свободные колебания быть незатухающими? Почему? Что необходимо делать для того, чтобы колебания были незатухающими?

Свободные колебания в реальных физических системах не могут быть незатухающими.

Причина заключается в том, что в любой реальной колебательной системе всегда существуют диссипативные силы (силы трения, сопротивления среды). Эти силы совершают отрицательную работу, из-за чего полная механическая энергия системы постепенно уменьшается, переходя во внутреннюю энергию (например, в тепло). Поскольку энергия колебаний (например, для пружинного маятника $E = \frac{kA^2}{2}$) пропорциональна квадрату амплитуды $A$, уменьшение энергии приводит к уменьшению амплитуды. Этот процесс и называется затуханием. Незатухающие свободные колебания являются лишь физической идеализацией, применимой в моделях, где потерями энергии можно пренебречь.

Для того чтобы колебания стали незатухающими, необходимо компенсировать потери энергии в системе. Этого можно достичь, подводя к системе энергию от внешнего источника. Скорость поступления энергии должна быть равна скорости ее потерь из-за сил трения. Колебания, поддерживаемые за счет внешнего источника энергии, перестают быть свободными и становятся либо вынужденными (если на систему действует внешняя периодическая сила), либо автоколебаниями (если система сама регулирует поступление энергии от постоянного источника).

Ответ: Нет, свободные колебания в реальных условиях всегда являются затухающими из-за неизбежного наличия сил трения и сопротивления, которые приводят к потере энергии. Чтобы колебания были незатухающими, необходимо непрерывно восполнять эти потери энергии за счет внешнего источника, превращая их в вынужденные колебания или автоколебания.

5. Что можно сказать о частоте установившихся вынужденных колебаний?

Вынужденные колебания возникают в системе под действием внешней периодической силы, которую называют вынуждающей. Когда эта сила начинает действовать, в системе происходит переходный процесс, во время которого накладываются друг на друга затухающие собственные колебания системы и колебания, вызванные внешней силой.

Спустя некоторое время собственные колебания системы затухают, и в системе устанавливается стационарный режим — установившиеся вынужденные колебания. Частота этих установившихся колебаний всегда равна частоте вынуждающей силы. Другими словами, колебательная система «забывает» о своей собственной (природной) частоте $ \omega_0 $ и начинает колебаться с частотой внешней силы $ \omega $. Амплитуда установившихся колебаний зависит от соотношения частот $ \omega $ и $ \omega_0 $, достигая максимума при резонансе ($ \omega \approx \omega_0 $).

Ответ: Частота установившихся вынужденных колебаний равна частоте внешней периодической (вынуждающей) силы, которая действует на колебательную систему.

5. Что можно сказать о частоте установившихся вынужденных колебаний и частоте вынуждающей силы?

5. Вынужденными колебаниями называют колебания, которые происходят в системе под действием внешней, периодически изменяющейся силы. После начала действия этой силы в системе на короткое время устанавливается сложный колебательный процесс, который является суперпозицией (наложением) собственных затухающих колебаний системы и колебаний, вызванных внешней силой.

Поскольку в любой реальной системе присутствует затухание (трение, сопротивление среды), собственные колебания со временем прекращаются. Процесс, который остается после затухания собственных колебаний, называется установившимися вынужденными колебаниями.

Ключевой особенностью установившихся вынужденных колебаний является то, что их частота в точности совпадает с частотой вынуждающей силы. Колебательная система "подчиняется" внешнему воздействию и колеблется с навязанной ей частотой. Если обозначить частоту установившихся колебаний как $\nu_{уст}$, а частоту вынуждающей силы как $\nu_{вын}$, то их соотношение будет:

$\nu_{уст} = \nu_{вын}$

В то время как частота определяется только вынуждающей силой, амплитуда установившихся колебаний зависит как от частоты и амплитуды вынуждающей силы, так и от собственных параметров системы (собственной частоты и коэффициента затухания).

Ответ: Частота установившихся вынужденных колебаний равна частоте вынуждающей силы.

6. В отличие от свободных колебаний, которые при наличии трения являются затухающими и со временем прекращаются, вынужденные колебания могут продолжаться очень долго.

Причина этого заключается в том, что внешняя периодическая сила (вынуждающая сила) постоянно совершает работу и передает энергию колебательной системе. Эта поступающая энергия компенсирует потери энергии, которые происходят из-за сил сопротивления и трения. Таким образом, энергия в системе не иссякает, и колебания не затухают.

Следовательно, продолжительность вынужденных колебаний определяется исключительно продолжительностью действия вынуждающей силы. Пока внешний источник энергии действует и поддерживает колебания, они будут продолжаться. Как только действие вынуждающей силы прекратится, колебания станут затухающими и через некоторое время полностью прекратятся.

Ответ: Вынужденные колебания могут продолжаться сколь угодно долго, пока на систему действует вынуждающая сила.

6. Как долго могут происходить вынужденные колебания?

6. Решение

Вынужденные колебания – это колебания, которые происходят в системе под действием внешней, периодически изменяющейся силы (вынуждающей силы). В отличие от свободных колебаний, которые в реальных условиях всегда затухают из-за потерь энергии на трение и сопротивление среды, вынужденные колебания могут продолжаться сколь угодно долго.

Причина этого заключается в том, что внешняя вынуждающая сила постоянно совершает работу и поставляет энергию в колебательную систему. Этот приток энергии компенсирует те потери, которые происходят из-за сил затухания. Таким образом, пока внешняя сила действует, она поддерживает незатухающие колебания в системе.

Продолжительность вынужденных колебаний целиком и полностью определяется временем действия вынуждающей силы. Если действие этой силы прекратить, система перейдет в режим свободных затухающих колебаний, которые довольно быстро прекратятся.

Например, качели, которые раскачивает человек, совершают вынужденные колебания. Они будут качаться неограниченно долго, пока человек их периодически подталкивает (то есть пока действует вынуждающая сила). Как только человек перестанет это делать, качели, совершив несколько затухающих колебаний, остановятся.

Ответ: Вынужденные колебания могут происходить неограниченно долго, пока на колебательную систему действует внешняя периодическая (вынуждающая) сила.

1. Горизонтальный пружинный маятник, изображённый на рисунке 71, отвели в сторону и отпустили. Как меняются перечисленные в таблице величины при движении маятника на указанных участках его пути? Перечертите таблицу в тетрадь и заполните её.

Для анализа движения горизонтального пружинного маятника рассмотрим каждый участок его пути. Точка О — положение равновесия, точки А и В — крайние положения (амплитудные).

От В к О

На этом участке маятник движется из крайнего положения (точка В, максимальное смещение) в положение равновесия (точка О).

Сила упругости $F_{упр}$: Сила упругости определяется по закону Гука $F_{упр} = k|x|$, где $x$ — смещение от положения равновесия. При движении от В к О смещение $|x|$ уменьшается от максимального значения до нуля. Следовательно, сила упругости уменьшается.

Скорость $v$: В точке В скорость равна нулю. Под действием силы упругости, направленной к положению равновесия, маятник ускоряется. В точке О скорость достигает максимального значения. Следовательно, скорость увеличивается.

Потенциальная энергия $E_п$: Потенциальная энергия пружины равна $E_п = \frac{kx^2}{2}$. Так как смещение $x$ уменьшается, потенциальная энергия уменьшается.

Кинетическая энергия $E_к$: Кинетическая энергия тела равна $E_к = \frac{mv^2}{2}$. Так как скорость $v$ увеличивается, кинетическая энергия увеличивается. Происходит переход потенциальной энергии в кинетическую.

Механическая энергия $E_п + E_к$ в реальных условиях (с трением): Сила трения совершает отрицательную работу, поэтому полная механическая энергия системы уменьшается.

Механическая энергия $E_п + E_к$ в идеальных условиях (без трения): В отсутствие сил трения полная механическая энергия сохраняется, то есть не изменяется.

Ответ: Сила упругости уменьшается, скорость увеличивается, потенциальная энергия уменьшается, кинетическая энергия увеличивается, механическая энергия с трением уменьшается, механическая энергия без трения не изменяется.

От О к А

На этом участке маятник движется из положения равновесия (точка О) в другое крайнее положение (точка А).

Сила упругости $F_{упр}$: При движении от О к А смещение $|x|$ увеличивается от нуля до максимального значения. Следовательно, сила упругости увеличивается.

Скорость $v$: В точке О скорость максимальна. Сила упругости направлена против движения (к положению равновесия), поэтому маятник замедляется. В точке А скорость становится равной нулю. Следовательно, скорость уменьшается.

Потенциальная энергия $E_п$: Потенциальная энергия $E_п = \frac{kx^2}{2}$. Так как смещение $|x|$ увеличивается, потенциальная энергия увеличивается.

Кинетическая энергия $E_к$: Кинетическая энергия $E_к = \frac{mv^2}{2}$. Так как скорость $v$ уменьшается, кинетическая энергия уменьшается. Происходит переход кинетической энергии в потенциальную.

Механическая энергия $E_п + E_к$ в реальных условиях (с трением): Из-за работы силы трения полная механическая энергия уменьшается.

Механическая энергия $E_п + E_к$ в идеальных условиях (без трения): Полная механическая энергия не изменяется.

Ответ: Сила упругости увеличивается, скорость уменьшается, потенциальная энергия увеличивается, кинетическая энергия уменьшается, механическая энергия с трением уменьшается, механическая энергия без трения не изменяется.

От А к О

На этом участке маятник движется из крайнего левого положения (точка А) обратно в положение равновесия (точка О).

Сила упругости $F_{упр}$: При движении от А к О смещение $|x|$ уменьшается от максимального значения до нуля. Следовательно, сила упругости уменьшается.

Скорость $v$: В точке А скорость равна нулю. Маятник ускоряется под действием силы упругости, направленной к положению равновесия, и достигает максимальной скорости в точке О. Следовательно, скорость увеличивается.

Потенциальная энергия $E_п$: Потенциальная энергия $E_п = \frac{kx^2}{2}$. Так как смещение $|x|$ уменьшается, потенциальная энергия уменьшается.

Кинетическая энергия $E_к$: Кинетическая энергия $E_к = \frac{mv^2}{2}$. Так как скорость $v$ увеличивается, кинетическая энергия увеличивается.

Механическая энергия $E_п + E_к$ в реальных условиях (с трением): Полная механическая энергия уменьшается из-за действия сил трения.

Механическая энергия $E_п + E_к$ в идеальных условиях (без трения): Полная механическая энергия не изменяется.

Ответ: Сила упругости уменьшается, скорость увеличивается, потенциальная энергия уменьшается, кинетическая энергия увеличивается, механическая энергия с трением уменьшается, механическая энергия без трения не изменяется.

От О к В

На этом участке маятник движется из положения равновесия (точка О) обратно к крайнему правому положению (точка В).

Сила упругости $F_{упр}$: При движении от О к В смещение $|x|$ увеличивается от нуля до максимального значения. Сила упругости увеличивается.

Скорость $v$: В точке О скорость максимальна. Сила упругости направлена против движения, маятник замедляется и останавливается в точке В. Следовательно, скорость уменьшается.

Потенциальная энергия $E_п$: Потенциальная энергия $E_п = \frac{kx^2}{2}$. Так как смещение $|x|$ увеличивается, потенциальная энергия увеличивается.

Кинетическая энергия $E_к$: Кинетическая энергия $E_к = \frac{mv^2}{2}$. Так как скорость $v$ уменьшается, кинетическая энергия уменьшается.

Механическая энергия $E_п + E_к$ в реальных условиях (с трением): Полная механическая энергия уменьшается.

Механическая энергия $E_п + E_к$ в идеальных условиях (без трения): Полная механическая энергия не изменяется.

Ответ: Сила упругости увеличивается, скорость уменьшается, потенциальная энергия увеличивается, кинетическая энергия уменьшается, механическая энергия с трением уменьшается, механическая энергия без трения не изменяется.