Страница 136 - гдз по физике 9 класс учебник Пёрышкин, Гутник

2. На рисунке 85 изображён шарик на нити, колеблющийся без трения между точками А и В. Находясь в точке В, этот маятник обладает потенциальной энергией, равной 0,01 Дж относительно горизонтали 1, принятой за нулевой уровень отсчёта потенциальной энергии. Чему равна: а) потенциальная энергия шарика в точках А и О;б) кинетическая энергия шарика в точках В, О и А;в) полная механическая энергия шарика в точках В, D, О, С и А?

Рис. 85

Дано:

Потенциальная энергия в точке B: $E_{p(B)} = 0,01$ Дж

Нулевой уровень потенциальной энергии проходит через точку O.

Трение отсутствует.

Найти:

а) $E_{p(A)}, E_{p(O)}$ - ?

б) $E_{k(B)}, E_{k(O)}, E_{k(A)}$ - ?

в) $E_{полн(B)}, E_{полн(D)}, E_{полн(O)}, E_{полн(C)}, E_{полн(A)}$ - ?

Решение:

Поскольку шарик колеблется без трения, его полная механическая энергия сохраняется. Полная механическая энергия $E_{полн}$ является суммой потенциальной энергии $E_p$ и кинетической энергии $E_k$: $E_{полн} = E_p + E_k = \text{const}$.

а) потенциальная энергия шарика в точках А и О

Точки А и В являются крайними точками траектории (точками максимального отклонения). Так как колебания происходят без потерь энергии, высота подъема в этих точках одинакова. Следовательно, их потенциальные энергии, которые зависят от высоты ($E_p = mgh$), равны.

$E_{p(A)} = E_{p(B)} = 0,01$ Дж.

Точка О находится на горизонтали 1, которая принята за нулевой уровень отсчета потенциальной энергии ($h=0$). Следовательно, потенциальная энергия в точке О равна нулю.

$E_{p(O)} = 0$ Дж.

Ответ: потенциальная энергия в точке А равна 0,01 Дж, в точке О равна 0 Дж.

б) кинетическая энергия шарика в точках B, O и A

В крайних точках траектории (А и В) шарик на мгновение останавливается, чтобы изменить направление движения. Поэтому его скорость в этих точках равна нулю, а значит, и кинетическая энергия ($E_k = \frac{mv^2}{2}$) тоже равна нулю.

$E_{k(A)} = 0$ Дж.

$E_{k(B)} = 0$ Дж.

Для нахождения кинетической энергии в точке О (положении равновесия) воспользуемся законом сохранения энергии. Полная механическая энергия в любой точке траектории одинакова. Найдем ее значение в точке B:

$E_{полн} = E_{p(B)} + E_{k(B)} = 0,01 \text{ Дж} + 0 \text{ Дж} = 0,01$ Дж.

Теперь запишем закон сохранения энергии для точки О:

$E_{полн} = E_{p(O)} + E_{k(O)}$

Мы знаем, что $E_{полн} = 0,01$ Дж и $E_{p(O)} = 0$ Дж. Тогда:

$0,01 \text{ Дж} = 0 \text{ Дж} + E_{k(O)}$

$E_{k(O)} = 0,01$ Дж.

В точке О (положении равновесия) скорость маятника максимальна, и вся потенциальная энергия переходит в кинетическую.

Ответ: кинетическая энергия в точке B равна 0 Дж, в точке О равна 0,01 Дж, в точке А равна 0 Дж.

в) полная механическая энергия шарика в точках B, D, O, C и A

Так как по условию задачи трение отсутствует, полная механическая энергия маятника сохраняется на всем протяжении его движения. Она не изменяется при переходе из одной точки траектории в другую. Мы уже вычислили ее значение для точки В:

$E_{полн} = 0,01$ Дж.

Следовательно, в любой точке траектории (в том числе в B, D, O, C и A) полная механическая энергия будет одинаковой.

$E_{полн(B)} = E_{полн(D)} = E_{полн(O)} = E_{полн(C)} = E_{полн(A)} = 0,01$ Дж.

Ответ: полная механическая энергия шарика в точках B, D, O, C и A одинакова и равна 0,01 Дж.

3. Рассмотрите рисунок 74 и скажите, какие из тел способны совершать свободные колебания; вынужденные колебания. Ответ обоснуйте.

Для того чтобы определить, какие тела совершают свободные, а какие — вынужденные колебания, необходимо разобраться в определениях этих понятий. Свободные колебания — это колебания, которые система совершает за счет внутренних сил после того, как ее вывели из положения равновесия. Вынужденные колебания — это колебания, которые происходят под действием внешней, периодически изменяющейся силы.

Поскольку конкретный рисунок 74 не приложен, мы рассмотрим общие, наиболее характерные примеры для каждого вида колебаний.

Решение

свободные колебания

Тела способны совершать свободные колебания, если они обладают положением устойчивого равновесия и при отклонении от него возникает внутренняя возвращающая сила (например, сила упругости или составляющая силы тяжести), которая стремится вернуть тело в положение равновесия. После однократного воздействия (например, толчка или отклонения) система, предоставленная сама себе, будет совершать колебания. В реальных условиях такие колебания всегда являются затухающими из-за потерь энергии на трение и сопротивление среды.

Примерами тел, способных совершать свободные колебания, являются:

1. Математический или пружинный маятник. Если отклонить груз от положения равновесия и отпустить, он начнет колебаться под действием силы тяжести или силы упругости.

2. Струна музыкального инструмента (гитары, скрипки). После того как струну щипнули или провели по ней смычком и убрали воздействие, она продолжает колебаться, издавая звук.

3. Качели после одного толчка. Отклонив качели и отпустив их, мы увидим, что они будут совершать затухающие свободные колебания.

Ответ: Свободные колебания способны совершать тела, которые после выведения из положения равновесия колеблются под действием только внутренних сил системы (например, маятник, груз на пружине, струна).

вынужденные колебания

Тела совершают вынужденные колебания, когда они движутся под постоянным воздействием внешней периодической силы. Такие колебания не затухают, пока действует эта сила, и их частота совпадает с частотой вынуждающей силы. Если прекратить внешнее воздействие, колебания либо прекратятся, либо перейдут в свободные затухающие колебания.

Примерами тел, совершающих вынужденные колебания, являются:

1. Поршень в цилиндре работающего двигателя внутреннего сгорания. Он движется вверх и вниз под действием периодически повторяющихся сил давления газов, образующихся при сгорании топлива.

2. Игла в работающей швейной машине. Ее движение обеспечивается мотором, который создает периодическую вынуждающую силу.

3. Качели, которые постоянно раскачивает человек. Человек выступает в роли источника внешней периодической силы, поддерживающей колебания.

Ответ: Вынужденные колебания совершают тела, на которые действует внешняя, периодически изменяющаяся сила (например, поршень в двигателе, игла швейной машины, постоянно раскачиваемые качели).

Используя тонкие нити одинаковой длины и две гайки разной массы, сконструируйте два нитяных маятника. Определите экспериментально, колебания какого из них затухают быстрее. Объясните результат.

Экспериментальное определение

Для проведения эксперимента необходимо выполнить следующие шаги:

1. Взять две тонкие нити одинаковой длины $L$.
2. Привязать к концу одной нити гайку меньшей массы $m_1$, а к концу другой — гайку большей массы $m_2$.
3. Подвесить оба маятника к неподвижной опоре так, чтобы они могли свободно колебаться.
4. Одновременно отклонить оба маятника от положения равновесия на один и тот же небольшой угол $\alpha$.
5. Отпустить маятники без начальной скорости и наблюдать за их колебаниями.
6. Зафиксировать, какой из маятников прекратит колебания раньше. Для большей точности можно посчитать количество полных колебаний, которое совершит каждый маятник до полной остановки. Маятник, совершивший меньшее число колебаний, является тем, чьи колебания затухают быстрее.

Результат эксперимента и его объяснение

В ходе эксперимента будет обнаружено, что колебания маятника с гайкой меньшей массы затухают быстрее.

Данный результат можно объяснить следующими причинами:

1. Силы, вызывающие затухание. На любой колеблющийся в воздухе маятник, помимо силы тяжести и силы натяжения нити, действуют силы сопротивления. Главной из них является сила сопротивления воздуха. Эта сила всегда направлена против движения, совершает отрицательную работу и, как следствие, приводит к уменьшению полной механической энергии маятника и затуханию колебаний.
2. Начальная энергия маятников. При отклонении на одинаковый угол $\alpha$ маятникам сообщается одинаковая начальная высота $h = L(1 - \cos\alpha)$. Начальная потенциальная энергия маятника равна $E_p = mgh$. Так как длина нити $L$ и начальный угол $\alpha$ одинаковы для обоих маятников, их начальная энергия прямо пропорциональна массе груза.
   • Энергия маятника с легкой гайкой: $E_1 = m_1 g L(1 - \cos\alpha)$
   • Энергия маятника с тяжелой гайкой: $E_2 = m_2 g L(1 - \cos\alpha)$
   Поскольку по условию $m_2 > m_1$, начальный запас энергии у тяжелого маятника больше: $E_2 > E_1$.
3. Потеря энергии за одно колебание. Сила сопротивления воздуха зависит от формы, размеров и скорости движущегося тела. Предполагая, что гайки имеют схожие размеры и форму, сила сопротивления при одинаковой скорости для них будет примерно одинаковой. Период колебаний математического маятника $T = 2\pi\sqrt{L/g}$ для малых углов не зависит от массы. Это означает, что оба маятника колеблются с практически одинаковой частотой, и их скорости в соответствующих точках траектории примерно равны. Следовательно, работа силы сопротивления воздуха, а значит, и потеря энергии $\Delta E$ за одно полное колебание, будет для обоих маятников примерно одинаковой.
4. Сравнение скорости затухания. Затухание колебаний — это процесс расходования начального запаса энергии. Поскольку оба маятника теряют за одно колебание примерно одинаковую порцию энергии $\Delta E$, быстрее "растратит" всю свою энергию тот маятник, у которого начальный запас был меньше. Таким образом, маятник с легкой гайкой (меньшей массой $m_1$ и меньшей энергией $E_1$) совершит меньше колебаний до полной остановки, чем маятник с тяжелой гайкой.

Ответ: Экспериментально будет установлено, что колебания маятника с гайкой меньшей массы затухают быстрее. Это объясняется тем, что, обладая меньшим начальным запасом механической энергии, но теряя за одно колебание примерно такое же количество энергии на сопротивление воздуха, как и маятник с большей массой, он исчерпывает свой запас энергии за меньшее число колебаний.