Страница 98 - гдз по физике 9 класс учебник Пёрышкин, Гутник

3*. На рисунке 62 линией АВСDЕ изображена траектория движения некоторого тела. На каких участках на тело наверняка действовала сила? Могла ли на тело действовать какая-нибудь сила при его движении на других участках этой траектории? Ответы обоснуйте.

Для ответа на этот вопрос необходимо использовать законы динамики Ньютона. Согласно первому закону Ньютона, если на тело не действуют силы или их действие скомпенсировано (то есть равнодействующая всех сил равна нулю), то тело либо находится в состоянии покоя, либо движется прямолинейно и равномерно.

Из этого следует, что если траектория движения тела не является прямой линией или если скорость тела на прямолинейном участке изменяется по величине, то на тело действует ненулевая равнодействующая сила. Такое движение называется движением с ускорением. Согласно второму закону Ньютона, сила $ \vec{F} $ связана с ускорением $ \vec{a} $ и массой $ m $ тела соотношением $ \vec{F} = m\vec{a} $.

На каких участках на тело наверняка действовала сила?

Движение по криволинейной траектории всегда является ускоренным, так как при таком движении постоянно меняется направление вектора скорости. Даже если модуль скорости (числовое значение) остается постоянным, изменение направления означает, что у тела есть ускорение (в данном случае центростремительное).

Участки траектории AB и CD являются криволинейными. На этих участках вектор скорости тела менял свое направление. Следовательно, на этих участках тело двигалось с ускорением. А раз было ускорение, то, согласно второму закону Ньютона, на тело наверняка действовала некоторая сила (или равнодействующая нескольких сил), которая и вызывала это изменение направления движения.

Ответ: Сила наверняка действовала на криволинейных участках траектории: AB и CD.

Могла ли на тело действовать какая-нибудь сила при его движении на других участках этой траектории?

Другие участки траектории, BC и DE, являются прямолинейными. На таких участках возможны два случая:

1. Тело движется равномерно. В этом случае его скорость постоянна ($ \vec{v} = \text{const} $), ускорение равно нулю ($ \vec{a} = 0 $), и равнодействующая всех сил, приложенных к телу, также равна нулю ($ \vec{F}_{равн} = 0 $).
2. Тело движется неравномерно (ускоренно или замедленно). В этом случае модуль его скорости меняется, что означает наличие ускорения ($ \vec{a} \neq 0 $), направленного вдоль прямой. Для создания такого ускорения необходима ненулевая равнодействующая сила ($ \vec{F}_{равн} \neq 0 $).

Поскольку в условии задачи дана только форма траектории и нет информации о том, была ли скорость тела постоянной на участках BC и DE, мы не можем исключить второй случай. На тело могла действовать сила, которая его разгоняла или тормозила. Например, сила тяги или сила трения. Поэтому на прямолинейных участках BC и DE на тело также могла действовать сила.

Ответ: Да, на участках BC и DE на тело могла действовать сила. Это было бы возможно, если бы тело двигалось по этим прямым неравномерно, то есть изменяло свою скорость по величине.

4*. Масса Земли равна 6 • 10²⁴ кг, а масса Луны — 7 • 10²² кг. Считая, что Луна движется вокруг Земли по окружности радиусом 384 000 км, определите: а) силу притяжения между Землёй и Луной; б) центростремительное ускорение, с которым Луна движется вокруг Земли; в) модуль скорости движения Луны относительно Земли.

Дано:

Масса Земли, $M_З = 6 \cdot 10^{24}$ кг

Масса Луны, $m_Л = 7 \cdot 10^{22}$ кг

Радиус орбиты Луны, $R = 384 \, 000$ км

Гравитационная постоянная, $G \approx 6.67 \cdot 10^{-11}$ Н·м²/кг²

Перевод в систему СИ:

$R = 384 \, 000 \text{ км} = 384 \, 000 \cdot 1000 \text{ м} = 3.84 \cdot 10^8 \text{ м}$

Найти:

а) $F_g$ - силу притяжения между Землёй и Луной

б) $a_c$ - центростремительное ускорение Луны

в) $v$ - модуль скорости движения Луны

Решение:

а) силу притяжения между Землёй и Луной;

Сила гравитационного притяжения между Землёй и Луной рассчитывается по закону всемирного тяготения Ньютона:$F_g = G \frac{M_З m_Л}{R^2}$

Подставим числовые значения в формулу:$F_g = 6.67 \cdot 10^{-11} \frac{\text{Н·м²}}{\text{кг²}} \cdot \frac{(6 \cdot 10^{24} \text{ кг}) \cdot (7 \cdot 10^{22} \text{ кг})}{(3.84 \cdot 10^8 \text{ м})^2}$

$F_g = \frac{6.67 \cdot 6 \cdot 7 \cdot 10^{-11+24+22}}{(3.84)^2 \cdot (10^8)^2} \text{ Н} = \frac{280.14 \cdot 10^{35}}{14.7456 \cdot 10^{16}} \text{ Н}$

$F_g \approx 18.998 \cdot 10^{19} \text{ Н} \approx 1.9 \cdot 10^{20} \text{ Н}$

Ответ: сила притяжения между Землёй и Луной примерно равна $1.9 \cdot 10^{20}$ Н.

б) центростремительное ускорение, с которым Луна движется вокруг Земли;

Сила притяжения сообщает Луне центростремительное ускорение. Согласно второму закону Ньютона, $F_g = m_Л a_c$. Отсюда можно выразить ускорение $a_c = \frac{F_g}{m_Л}$.

Также можно использовать формулу для ускорения свободного падения на данном расстоянии от центра Земли, так как именно гравитация является причиной этого ускорения:$a_c = G \frac{M_З}{R^2}$

Подставим значения:$a_c = 6.67 \cdot 10^{-11} \frac{\text{Н·м²}}{\text{кг²}} \cdot \frac{6 \cdot 10^{24} \text{ кг}}{(3.84 \cdot 10^8 \text{ м})^2}$

$a_c = \frac{6.67 \cdot 6 \cdot 10^{13}}{14.7456 \cdot 10^{16}} \frac{\text{м}}{\text{с²}} = \frac{40.02 \cdot 10^{13}}{14.7456 \cdot 10^{16}} \frac{\text{м}}{\text{с²}}$

$a_c \approx 2.714 \cdot 10^{-3} \frac{\text{м}}{\text{с²}} \approx 0.0027 \frac{\text{м}}{\text{с²}}$

Ответ: центростремительное ускорение Луны равно примерно $0.0027$ м/с².

в) модуль скорости движения Луны относительно Земли.

Для движения по окружности центростремительное ускорение связано со скоростью и радиусом следующим образом:$a_c = \frac{v^2}{R}$

Из этой формулы выражаем модуль скорости:$v = \sqrt{a_c \cdot R}$

Подставим найденное значение ускорения (возьмем более точное значение $a_c \approx 2.714 \cdot 10^{-3}$ м/с² для точности вычислений) и радиус орбиты:$v = \sqrt{2.714 \cdot 10^{-3} \frac{\text{м}}{\text{с²}} \cdot 3.84 \cdot 10^8 \text{ м}}$

$v = \sqrt{10.42176 \cdot 10^5} \text{ м/с} = \sqrt{1.042176 \cdot 10^6} \text{ м/с}$

$v \approx 1020.87 \frac{\text{м}}{\text{с}} \approx 1.02 \cdot 10^3 \frac{\text{м}}{\text{с}}$

Ответ: модуль скорости движения Луны относительно Земли равен примерно $1020$ м/с (или $1.02$ км/с).

5*. Определите, с какой скоростью движется автомобиль массой 1 т по вогнутому мосту радиусом 100 м, если сила давления автомобиля на середину моста равна 15 кН.

Дано:

Масса автомобиля, $m = 1 \text{ т} = 1000 \text{ кг}$

Радиус кривизны моста, $R = 100 \text{ м}$

Сила давления автомобиля на мост, $P = 15 \text{ кН} = 15000 \text{ Н}$

Ускорение свободного падения, $g \approx 10 \text{ м/с}^2$

Найти:

Скорость автомобиля, $v$

Решение:

Когда автомобиль движется по вогнутому мосту, в нижней точке на него действуют две силы: сила тяжести $F_т = mg$, направленная вертикально вниз, и сила нормальной реакции опоры $N$, направленная вертикально вверх.

Согласно второму закону Ньютона, равнодействующая этих сил сообщает автомобилю центростремительное ускорение $a_ц = \frac{v^2}{R}$, которое в нижней точке траектории направлено также вертикально вверх, к центру кривизны моста.

Запишем второй закон Ньютона в проекции на вертикальную ось, направленную вверх:

$N - mg = ma_ц$

Подставим выражение для центростремительного ускорения:

$N - mg = \frac{mv^2}{R}$

Согласно третьему закону Ньютона, сила давления $P$, с которой автомобиль действует на мост, равна по модулю и противоположна по направлению силе нормальной реакции опоры $N$, с которой мост действует на автомобиль. Таким образом, $P = N$.

Заменив $N$ на $P$ в уравнении, получим:

$P - mg = \frac{mv^2}{R}$

Выразим из этого уравнения скорость $v$:

$mv^2 = R(P - mg)$

$v^2 = \frac{R(P - mg)}{m}$

$v = \sqrt{\frac{R(P - mg)}{m}}$

Подставим числовые значения в формулу:

$v = \sqrt{\frac{100 \text{ м} \cdot (15000 \text{ Н} - 1000 \text{ кг} \cdot 10 \text{ м/с}^2)}{1000 \text{ кг}}} = \sqrt{\frac{100 \cdot (15000 - 10000)}{1000}} = \sqrt{\frac{100 \cdot 5000}{1000}} = \sqrt{\frac{500000}{1000}} = \sqrt{500} \text{ м/с}$

Упростим корень:

$v = \sqrt{100 \cdot 5} = 10\sqrt{5} \text{ м/с}$

Вычислим приближенное значение:

$v \approx 10 \cdot 2,236 \approx 22,4 \text{ м/с}$

Ответ: скорость автомобиля равна $10\sqrt{5} \text{ м/с}$, что приблизительно составляет $22,4 \text{ м/с}$.