Номер 4, страница 98 - гдз по физике 9 класс учебник Пёрышкин, Гутник

Упражнение 20. § 20. Динамика криволинейного движения. Глава 1. Законы движения и взаимодействия тел - номер 4, страница 98.

4*. Масса Земли равна 6 • 10²⁴ кг, а масса Луны — 7 • 10²² кг. Считая, что Луна движется вокруг Земли по окружности радиусом 384 000 км, определите: а) силу притяжения между Землёй и Луной; б) центростремительное ускорение, с которым Луна движется вокруг Земли; в) модуль скорости движения Луны относительно Земли.

Дано:

Масса Земли, $M_З = 6 \cdot 10^{24}$ кг

Масса Луны, $m_Л = 7 \cdot 10^{22}$ кг

Радиус орбиты Луны, $R = 384 \, 000$ км

Гравитационная постоянная, $G \approx 6.67 \cdot 10^{-11}$ Н·м²/кг²

Перевод в систему СИ:

$R = 384 \, 000 \text{ км} = 384 \, 000 \cdot 1000 \text{ м} = 3.84 \cdot 10^8 \text{ м}$

Найти:

а) $F_g$ - силу притяжения между Землёй и Луной

б) $a_c$ - центростремительное ускорение Луны

в) $v$ - модуль скорости движения Луны

Решение:

а) силу притяжения между Землёй и Луной;

Сила гравитационного притяжения между Землёй и Луной рассчитывается по закону всемирного тяготения Ньютона:$F_g = G \frac{M_З m_Л}{R^2}$

Подставим числовые значения в формулу:$F_g = 6.67 \cdot 10^{-11} \frac{\text{Н·м²}}{\text{кг²}} \cdot \frac{(6 \cdot 10^{24} \text{ кг}) \cdot (7 \cdot 10^{22} \text{ кг})}{(3.84 \cdot 10^8 \text{ м})^2}$

$F_g = \frac{6.67 \cdot 6 \cdot 7 \cdot 10^{-11+24+22}}{(3.84)^2 \cdot (10^8)^2} \text{ Н} = \frac{280.14 \cdot 10^{35}}{14.7456 \cdot 10^{16}} \text{ Н}$

$F_g \approx 18.998 \cdot 10^{19} \text{ Н} \approx 1.9 \cdot 10^{20} \text{ Н}$

Ответ: сила притяжения между Землёй и Луной примерно равна $1.9 \cdot 10^{20}$ Н.

б) центростремительное ускорение, с которым Луна движется вокруг Земли;

Сила притяжения сообщает Луне центростремительное ускорение. Согласно второму закону Ньютона, $F_g = m_Л a_c$. Отсюда можно выразить ускорение $a_c = \frac{F_g}{m_Л}$.

Также можно использовать формулу для ускорения свободного падения на данном расстоянии от центра Земли, так как именно гравитация является причиной этого ускорения:$a_c = G \frac{M_З}{R^2}$

Подставим значения:$a_c = 6.67 \cdot 10^{-11} \frac{\text{Н·м²}}{\text{кг²}} \cdot \frac{6 \cdot 10^{24} \text{ кг}}{(3.84 \cdot 10^8 \text{ м})^2}$

$a_c = \frac{6.67 \cdot 6 \cdot 10^{13}}{14.7456 \cdot 10^{16}} \frac{\text{м}}{\text{с²}} = \frac{40.02 \cdot 10^{13}}{14.7456 \cdot 10^{16}} \frac{\text{м}}{\text{с²}}$

$a_c \approx 2.714 \cdot 10^{-3} \frac{\text{м}}{\text{с²}} \approx 0.0027 \frac{\text{м}}{\text{с²}}$

Ответ: центростремительное ускорение Луны равно примерно $0.0027$ м/с².

в) модуль скорости движения Луны относительно Земли.

Для движения по окружности центростремительное ускорение связано со скоростью и радиусом следующим образом:$a_c = \frac{v^2}{R}$

Из этой формулы выражаем модуль скорости:$v = \sqrt{a_c \cdot R}$

Подставим найденное значение ускорения (возьмем более точное значение $a_c \approx 2.714 \cdot 10^{-3}$ м/с² для точности вычислений) и радиус орбиты:$v = \sqrt{2.714 \cdot 10^{-3} \frac{\text{м}}{\text{с²}} \cdot 3.84 \cdot 10^8 \text{ м}}$

$v = \sqrt{10.42176 \cdot 10^5} \text{ м/с} = \sqrt{1.042176 \cdot 10^6} \text{ м/с}$

$v \approx 1020.87 \frac{\text{м}}{\text{с}} \approx 1.02 \cdot 10^3 \frac{\text{м}}{\text{с}}$

Ответ: модуль скорости движения Луны относительно Земли равен примерно $1020$ м/с (или $1.02$ км/с).