Номер 4, страница 103 - гдз по физике 9 класс учебник Пёрышкин, Гутник

Ответь на вопросы. § 21. Искусственные спутники Земли. Глава 1. Законы движения и взаимодействия тел - номер 4, страница 103.

4. Что необходимо сделать с физическим телом, чтобы оно стало искусственным спутником Земли?

Что необходимо сделать с физическим телом, чтобы оно стало искусственным спутником Земли?

Чтобы физическое тело стало искусственным спутником Земли, необходимо выполнить два основных условия. Во-первых, тело нужно поднять на значительную высоту над поверхностью Земли, чтобы вывести его за пределы плотных слоев атмосферы (как правило, на высоту более 100 км). Это делается для того, чтобы сила сопротивления воздуха, которая тормозит движение, была пренебрежимо малой. Во-вторых, на этой высоте телу необходимо сообщить скорость в направлении, перпендикулярном к линии, соединяющей тело с центром Земли (то есть, по касательной к орбите). Величина этой скорости должна быть равна так называемой первой космической скорости ($v_1$) для данной высоты. Если скорость будет меньше $v_1$, тело упадет на Землю по баллистической траектории. Если скорость будет равна $v_1$, тело будет двигаться по круговой орбите. Если скорость будет больше $v_1$, но меньше второй космической скорости, орбита будет эллиптической.

Ответ: Тело необходимо поднять на высоту, где можно пренебречь сопротивлением атмосферы, и сообщить ему в горизонтальном направлении скорость, равную первой космической скорости для этой высоты.

5. Выведите формулу первой космической скорости.

Найти:

Формулу для первой космической скорости $v_1$.

Решение

Первая космическая скорость — это минимальная скорость, которую нужно сообщить телу у поверхности планеты, чтобы оно стало ее искусственным спутником, движущимся по круговой орбите.

Рассмотрим спутник массой $m$, который движется по круговой орбите вокруг Земли. Единственная сила, действующая на спутник (пренебрегая сопротивлением разреженной атмосферы), — это сила гравитационного притяжения со стороны Земли. Эта сила сообщает спутнику центростремительное ускорение $a_ц$, которое и удерживает его на круговой орбите.

По второму закону Ньютона:

$F_{грав} = m a_ц$

Сила гравитационного притяжения определяется законом всемирного тяготения:

$F_{грав} = G \frac{M m}{r^2}$

где $G$ — гравитационная постоянная, $M$ — масса Земли, $m$ — масса спутника, $r$ — радиус орбиты (расстояние от центра Земли до спутника).

Центростремительное ускорение тела, движущегося по окружности радиусом $r$ со скоростью $v$, равно:

$a_ц = \frac{v^2}{r}$

Подставим выражения для силы и ускорения в уравнение второго закона Ньютона:

$G \frac{M m}{r^2} = m \frac{v^2}{r}$

Масса спутника $m$ в левой и правой частях уравнения сокращается. Также можно сократить $r$. Получаем:

$G \frac{M}{r} = v^2$

Отсюда находим скорость спутника на круговой орбите:

$v = \sqrt{G \frac{M}{r}}$

Для определения первой космической скорости $v_1$ мы рассматриваем орбиту, находящуюся в непосредственной близости от поверхности Земли. В этом случае радиус орбиты $r$ можно считать равным радиусу Земли $R_З$.

$v_1 = \sqrt{G \frac{M}{R_З}}$

Эту же формулу можно выразить через ускорение свободного падения у поверхности Земли $g$. У поверхности Земли сила тяжести $F_{тяж} = mg$. Эта сила есть не что иное, как гравитационная сила $F_{грав} = G \frac{M m}{R_З^2}$. Приравнивая их, получаем:

$mg = G \frac{M m}{R_З^2}$

Отсюда следует, что $g = G \frac{M}{R_З^2}$, или $GM = gR_З^2$.

Теперь подставим произведение $GM$ в выведенную ранее формулу для $v_1$:

$v_1 = \sqrt{\frac{gR_З^2}{R_З}} = \sqrt{gR_З}$

Ответ: Формулы для первой космической скорости: $v_1 = \sqrt{G \frac{M}{R_З}}$ или $v_1 = \sqrt{gR_З}$, где $G$ — гравитационная постоянная, $M$ — масса Земли, $R_З$ — радиус Земли, $g$ — ускорение свободного падения у поверхности Земли.