Номер 4, страница 103 - гдз по физике 9 класс учебник Пёрышкин, Гутник

Упражнение 21. § 21. Искусственные спутники Земли. Глава 1. Законы движения и взаимодействия тел - номер 4, страница 103.

4. Ракета, пущенная вертикально вверх, поднялась на высоту 3200 км над поверхностью Земли и начала падать. Какой путь пройдёт ракета за первую секунду своего падения?

Дано

Высота подъема ракеты над поверхностью Земли: $h = 3200 \text{ км} = 3.2 \cdot 10^6 \text{ м}$

Время падения: $t = 1 \text{ с}$

Начальная скорость падения: $v_0 = 0 \text{ м/с}$

Радиус Земли (средний): $R_З \approx 6400 \text{ км} = 6.4 \cdot 10^6 \text{ м}$

Ускорение свободного падения у поверхности Земли: $g_0 \approx 9.8 \text{ м/с}^2$

Найти:

Путь, пройденный ракетой за первую секунду падения: $S - ?$

Решение

Когда ракета достигает максимальной высоты, ее скорость становится равной нулю, и она начинает падать. Это движение является свободным падением. Однако ускорение свободного падения зависит от расстояния до центра Земли, поэтому на высоте $h = 3200 \text{ км}$ оно будет отличаться от стандартного значения $g_0$ у поверхности.

Ускорение свободного падения $g_h$ на высоте $h$ можно найти, используя закон всемирного тяготения. Связь между ускорением на высоте $h$ и ускорением у поверхности $g_0$ выражается формулой: $g_h = g_0 \left(\frac{R_З}{R_З + h}\right)^2$ где $R_З$ – радиус Земли.

Подставим известные значения и вычислим ускорение, с которым ракета начнет падать: $g_h = 9.8 \frac{\text{м}}{\text{с}^2} \cdot \left(\frac{6400 \text{ км}}{6400 \text{ км} + 3200 \text{ км}}\right)^2 = 9.8 \cdot \left(\frac{6400}{9600}\right)^2 = 9.8 \cdot \left(\frac{2}{3}\right)^2 = 9.8 \cdot \frac{4}{9} \approx 4.36 \frac{\text{м}}{\text{с}^2}$

За первую секунду падения ракета пройдет небольшое расстояние, поэтому ее высота изменится незначительно. Это позволяет нам считать движение в течение этой секунды равноускоренным с постоянным ускорением $a = g_h$.

Путь, пройденный телом при равноускоренном движении без начальной скорости ($v_0 = 0$), находится по формуле: $S = \frac{a t^2}{2}$

Теперь мы можем рассчитать путь, который пройдет ракета: $S = \frac{g_h t^2}{2} = \frac{4.36 \frac{\text{м}}{\text{с}^2} \cdot (1 \text{ с})^2}{2} = 2.18 \text{ м}$

Ответ: за первую секунду своего падения ракета пройдёт путь примерно $2.18 \text{ м}$.