Номер 1, страница 103 - гдз по физике 9 класс учебник Пёрышкин, Гутник

Упражнение 21. § 21. Искусственные спутники Земли. Глава 1. Законы движения и взаимодействия тел - номер 1, страница 103.

1. Определите скорость искусственного спутника Земли, если он движется по круговой орбите на высоте 2600 км над поверхностью Земли. (М_З = 6 • 10²⁴ кг.)

Дано:

$h = 2600 \text{ км} = 2.6 \cdot 10^6 \text{ м}$

$M_З = 6 \cdot 10^{24} \text{ кг}$

$G \approx 6.67 \cdot 10^{-11} \frac{\text{Н} \cdot \text{м}^2}{\text{кг}^2}$ (гравитационная постоянная)

$R_З \approx 6400 \text{ км} = 6.4 \cdot 10^6 \text{ м}$ (средний радиус Земли)

Найти:

$v$ — скорость искусственного спутника Земли.

Решение:

Спутник движется по круговой орбите, значит, на него действует сила всемирного тяготения, которая сообщает ему центростремительное ускорение. По второму закону Ньютона, сила тяготения $F_g$ равна центростремительной силе $F_ц$.

$F_g = F_ц$

Сила всемирного тяготения определяется выражением: $F_g = G \frac{M_З m}{r^2}$

Центростремительная сила, действующая на спутник: $F_ц = \frac{m v^2}{r}$

Здесь $m$ — масса спутника, $v$ — его скорость, $r$ — радиус орбиты. Приравняем правые части уравнений: $G \frac{M_З m}{r^2} = \frac{m v^2}{r}$

Сократив массу спутника $m$ и радиус $r$, получим формулу для вычисления квадрата скорости спутника: $v^2 = \frac{G M_З}{r}$

Следовательно, скорость спутника: $v = \sqrt{\frac{G M_З}{r}}$

Радиус орбиты $r$ — это сумма радиуса Земли $R_З$ и высоты орбиты $h$: $r = R_З + h$

Вычислим радиус орбиты: $r = 6.4 \cdot 10^6 \text{ м} + 2.6 \cdot 10^6 \text{ м} = 9.0 \cdot 10^6 \text{ м}$

Подставим все известные значения в формулу для скорости: $v = \sqrt{\frac{6.67 \cdot 10^{-11} \frac{\text{Н} \cdot \text{м}^2}{\text{кг}^2} \cdot 6 \cdot 10^{24} \text{ кг}}{9.0 \cdot 10^6 \text{ м}}} = \sqrt{\frac{40.02 \cdot 10^{13}}{9.0 \cdot 10^6}} \frac{\text{м}}{\text{с}}$

$v = \sqrt{4.4467 \cdot 10^7} \frac{\text{м}}{\text{с}} \approx 6668 \frac{\text{м}}{\text{с}}$

Округлим результат до двух значащих цифр, так как исходные данные имеют такую точность: $v \approx 6.7 \cdot 10^3 \frac{\text{м}}{\text{с}} = 6.7 \frac{\text{км}}{\text{с}}$

Ответ: скорость искусственного спутника Земли приблизительно равна $6.7 \text{ км/с}$.