Номер 3, страница 103 - гдз по физике 9 класс учебник Пёрышкин, Гутник

Упражнение 21. § 21. Искусственные спутники Земли. Глава 1. Законы движения и взаимодействия тел - номер 3, страница 103.

3. На каком расстоянии от Земли сила всемирного тяготения, действующая на тело, будет в 3 раза меньше, чем на поверхности Земли?

Дано:

$F_1$ — сила всемирного тяготения, действующая на тело на поверхности Земли.

$F_2$ — сила всемирного тяготения, действующая на тело на искомом расстоянии от Земли.

Соотношение сил: $\frac{F_1}{F_2} = 3$.

$R_З$ — радиус Земли. Примем средний радиус Земли $R_З \approx 6371 \text{ км}$.

Найти:

$h$ — расстояние от поверхности Земли, на котором сила тяготения будет в 3 раза меньше.

Решение:

Сила всемирного тяготения описывается законом Ньютона:

$F = G \frac{M m}{d^2}$

где $G$ — гравитационная постоянная, $M$ — масса Земли, $m$ — масса тела, а $d$ — расстояние между центрами масс Земли и тела.

На поверхности Земли расстояние $d$ равно радиусу Земли $R_З$. Сила тяготения $F_1$ на поверхности равна:

$F_1 = G \frac{M m}{R_З^2}$

На искомом расстоянии $h$ от поверхности Земли, общее расстояние от центра Земли будет $r = R_З + h$. Сила тяготения $F_2$ на этом расстоянии равна:

$F_2 = G \frac{M m}{r^2} = G \frac{M m}{(R_З + h)^2}$

По условию задачи, сила на поверхности в 3 раза больше, чем на искомом расстоянии, то есть $F_1 = 3 F_2$. Подставим выражения для сил в это равенство:

$G \frac{M m}{R_З^2} = 3 \cdot \left( G \frac{M m}{(R_З + h)^2} \right)$

Сократим одинаковые множители ($G$, $M$, $m$) в обеих частях уравнения:

$\frac{1}{R_З^2} = \frac{3}{(R_З + h)^2}$

Из этого соотношения выразим квадрат расстояния от центра Земли $(R_З + h)^2$:

$(R_З + h)^2 = 3 R_З^2$

Извлечем квадратный корень из обеих частей уравнения (так как расстояние является положительной величиной):

$R_З + h = \sqrt{3 R_З^2} = R_З \sqrt{3}$

Теперь выразим искомое расстояние $h$ от поверхности Земли:

$h = R_З \sqrt{3} - R_З = R_З (\sqrt{3} - 1)$

Это и есть ответ в общем виде. Для получения численного значения подставим средний радиус Земли $R_З \approx 6371 \text{ км}$ и значение $\sqrt{3} \approx 1.732$:

$h \approx 6371 \text{ км} \cdot (1.732 - 1) = 6371 \text{ км} \cdot 0.732 \approx 4663.6 \text{ км}$

Округлим результат до целых километров.

Ответ: сила всемирного тяготения будет в 3 раза меньше, чем на поверхности, на расстоянии (высоте) $h = R_З(\sqrt{3}-1)$ от поверхности Земли, что составляет примерно 4664 км.