Номер 5, страница 103 - гдз по физике 9 класс учебник Пёрышкин, Гутник

Ответь на вопросы. § 21. Искусственные спутники Земли. Глава 1. Законы движения и взаимодействия тел - номер 5, страница 103.

5. Выведите формулу для расчёта первой космической скорости спутника, движущегося по круговой орбите вблизи поверхности Земли.

5. Решение

Первая космическая скорость ($v_1$) — это минимальная скорость, которую необходимо сообщить телу у поверхности планеты в горизонтальном направлении, чтобы оно стало её искусственным спутником, движущимся по круговой орбите.

Для того чтобы спутник двигался по круговой орбите, действующая на него сила всемирного тяготения ($F_g$) со стороны Земли должна сообщать ему центростремительное ускорение ($a_ц$). Согласно второму закону Ньютона, эта сила равна произведению массы спутника на центростремительное ускорение, то есть она и является центростремительной силой ($F_ц$).

Сила всемирного тяготения определяется по закону всемирного тяготения:

$F_g = G \frac{M \cdot m}{r^2}$

где $G$ — гравитационная постоянная, $M$ — масса Земли, $m$ — масса спутника, $r$ — радиус орбиты спутника.

Центростремительная сила, необходимая для движения по круговой орбите со скоростью $v_1$, равна:

$F_ц = m \cdot a_ц = \frac{m v_1^2}{r}$

Приравниваем выражения для силы тяготения и центростремительной силы:

$F_g = F_ц$

$G \frac{M \cdot m}{r^2} = \frac{m v_1^2}{r}$

Сократим массу спутника $m$ (она не влияет на величину первой космической скорости) и радиус $r$ (один раз в знаменателе и числителе):

$G \frac{M}{r} = v_1^2$

Отсюда выражаем первую космическую скорость:

$v_1 = \sqrt{G \frac{M}{r}}$

По условию задачи, спутник движется по круговой орбите вблизи поверхности Земли. Это означает, что радиус орбиты $r$ можно считать приблизительно равным радиусу Земли $R_З$ (пренебрегая высотой спутника над поверхностью по сравнению с радиусом Земли):

$r \approx R_З$

Тогда формула для первой космической скорости у поверхности Земли принимает вид:

$v_1 = \sqrt{G \frac{M}{R_З}}$

Эту формулу также можно выразить через ускорение свободного падения у поверхности Земли $g$. Ускорение свободного падения на поверхности планеты определяется из того же закона всемирного тяготения: $m g = G \frac{M m}{R_З^2}$, откуда следует, что $g = G \frac{M}{R_З^2}$. Из этого соотношения можно выразить произведение $GM = g R_З^2$.

Подставим это выражение в полученную нами формулу для $v_1$:

$v_1 = \sqrt{\frac{g R_З^2}{R_З}} = \sqrt{g R_З}$

Таким образом, мы вывели две эквивалентные формулы для расчёта первой космической скорости спутника, движущегося по круговой орбите вблизи поверхности Земли.

Ответ: Формула для расчёта первой космической скорости спутника, движущегося по круговой орбите вблизи поверхности Земли, может быть представлена в двух видах: $v_1 = \sqrt{G \frac{M}{R_З}}$ или $v_1 = \sqrt{g R_З}$, где $G$ — гравитационная постоянная, $M$ — масса Земли, $R_З$ — радиус Земли, $g$ — ускорение свободного падения у поверхности Земли.