Страница 103 - гдз по физике 9 класс учебник Пёрышкин, Гутник

1. Приведите примеры (из области астрономии), доказывающие, что при отсутствии сил сопротивления тело может неограниченно долго двигаться по замкнутой траектории под действием силы, меняющей направление скорости движения этого тела.

Приведите примеры (из области астрономии), доказывающие, что при отсутствии сил сопротивления тело может неограниченно долго двигаться по замкнутой траектории под действием силы, меняющей направление скорости движения этого тела.

В космическом пространстве, где практически отсутствует вакуум и силы сопротивления пренебрежимо малы, движение небесных тел определяется в основном гравитационными силами. Эти силы действуют как центростремительные, постоянно изменяя направление вектора скорости тела, но не его модуль (в случае круговой орбиты), что заставляет тело двигаться по замкнутой траектории, а не по прямой. Это явление описывается законом всемирного тяготения Ньютона и его законами механики.

Вот несколько примеров из астрономии:

• Движение Луны вокруг Земли. Луна движется по эллиптической орбите вокруг Земли уже миллиарды лет. Сила гравитационного притяжения Земли постоянно направлена к центру Земли и перпендикулярна (приблизительно) скорости Луны. Эта сила искривляет траекторию Луны, заставляя ее оставаться на орбите. Без этой силы Луна улетела бы в космос по прямой линии по касательной к своей орбите.

• Движение планет вокруг Солнца. Все планеты Солнечной системы, включая Землю, движутся по эллиптическим орбитам вокруг Солнца. Гравитационная сила Солнца является той силой, которая удерживает их на этих орбитах. Эта сила непрерывно меняет направление скорости планет, заставляя их обращаться вокруг центральной звезды.

• Движение искусственных спутников вокруг Земли. Искусственные спутники, запущенные на достаточно большую высоту (где сопротивление атмосферы минимально), могут годами и десятилетиями двигаться по орбите вокруг Земли. Их движение — это баланс между их инерцией (стремлением двигаться по прямой) и постоянным притяжением Земли, которое «заворачивает» их траекторию в замкнутый эллипс или окружность.

Во всех этих случаях сила тяготения $F = G \frac{M m}{r^2}$ создает центростремительное ускорение, необходимое для движения по криволинейной траектории.

Ответ: Примерами такого движения являются обращение Луны вокруг Земли, планет вокруг Солнца, а также искусственных спутников вокруг Земли. Во всех случаях гравитация действует как центростремительная сила, постоянно изменяя направление скорости тела и удерживая его на замкнутой орбите в условиях практически полного отсутствия сил сопротивления.

2. Почему спутники, об...

(Полный текст вопроса не виден. Ответ дается на наиболее вероятный вопрос: «Почему спутники, обращающиеся вокруг Земли, не падают на нее, несмотря на действие силы тяжести?»)

Вопреки распространенному мнению, на спутники на орбите действует сила тяжести. На самом деле, на высоте нескольких сотен километров, где летает большинство спутников (включая МКС), сила гравитации лишь ненамного слабее, чем на поверхности Земли. Причина, по которой спутники не падают, заключается в их огромной горизонтальной (тангенциальной) скорости.

Спутник на самом деле постоянно «падает» на Землю под действием гравитации. Однако, обладая большой скоростью, направленной по касательной к поверхности планеты, он одновременно с падением смещается вперед на значительное расстояние. Из-за шарообразной формы Земли ее поверхность «уходит» из-под падающего спутника примерно с той же скоростью. В результате траектория падения спутника оказывается не прямой линией к центру Земли, а кривой, которая огибает планету.

Это можно представить с помощью мысленного эксперимента Ньютона с пушечным ядром. Если выстрелить ядром с высокой горы параллельно поверхности, оно пролетит некоторое расстояние и упадет. Если увеличить скорость выстрела, оно улетит дальше. При достижении определенной скорости, называемой первой космической скоростью (около 7.9 км/с для низкой околоземной орбиты), кривизна траектории падения ядра совпадет с кривизной земной поверхности. Ядро начнет непрерывно падать, но никогда не приблизится к Земле — оно выйдет на орбиту.

Таким образом, орбитальное движение — это постоянное состояние свободного падения, в котором тело имеет достаточную боковую скорость, чтобы постоянно «промахиваться» мимо планеты.

Ответ: Спутники не падают на Землю, потому что они движутся с очень большой горизонтальной скоростью. Сочетание их движения вперед по инерции и непрерывного падения вниз под действием гравитации приводит к тому, что их траектория изгибается, следуя кривизне Земли, и образует замкнутую орбиту.

2. Почему спутники, обращаясь вокруг Земли под действием силы тяжести, не падают на Землю?

Спутники, вращаясь вокруг Земли, действительно постоянно "падают" на нее под действием силы тяжести. Однако они не сталкиваются с поверхностью, потому что обладают очень большой горизонтальной (тангенциальной) скоростью.

Можно представить себе мысленный эксперимент, предложенный еще Исааком Ньютоном (пушка на горе). Если выстрелить из пушки горизонтально, ядро пролетит некоторое расстояние и упадет на Землю. Если увеличить скорость, оно улетит дальше. При достижении определенной, очень большой скорости, называемой первой космической скоростью (около 7.9 км/с у поверхности Земли), траектория падения ядра станет настолько пологой, что ее кривизна совпадет с кривизной земной поверхности. В результате ядро будет падать, но постоянно "промахиваться" мимо Земли, двигаясь по круговой орбите.

С физической точки зрения, сила гравитационного притяжения Земли $F_{тяж}$ не притягивает спутник к поверхности, а сообщает ему центростремительное ускорение $a_{ц}$. Эта сила всегда перпендикулярна вектору скорости спутника (для круговой орбиты) и заставляет его постоянно изменять направление движения, но не величину скорости. Таким образом, сила тяжести искривляет прямолинейную траекторию спутника, превращая ее в замкнутую орбиту.

Равенство силы тяжести и центростремительной силы является условием движения по круговой орбите:

$F_{тяж} = F_{ц}$

$G \frac{M m}{r^2} = m a_{ц} = \frac{m v^2}{r}$

где $G$ — гравитационная постоянная, $M$ — масса Земли, $m$ — масса спутника, $v$ — его орбитальная скорость, $r$ — радиус орбиты.

Ответ: Спутники не падают на Землю, так как их высокая горизонтальная скорость в сочетании с постоянным притяжением Земли заставляет их двигаться по орбите. Сила тяжести действует как центростремительная сила, постоянно изменяя направление скорости спутника так, что он "падает" вокруг Земли, а не на нее.

3. Да, обращение спутника вокруг Земли можно и нужно считать свободным падением.

Свободное падение — это движение тела, на которое действует только сила тяжести. В случае спутника на орбите (если пренебречь незначительным сопротивлением разреженной атмосферы и другими малыми силами) единственной существенной силой, действующей на него, является гравитационная сила со стороны Земли.

Распространенное заблуждение состоит в том, что свободное падение — это обязательно движение "вниз" к центру Земли. На самом деле, это любой вид движения под действием одной лишь гравитации. Если у тела есть начальная горизонтальная скорость, его траектория в поле тяжести будет криволинейной (парабола или эллипс/окружность). Спутник как раз и представляет собой тело, которому сообщили достаточную начальную горизонтальную скорость, чтобы его траектория свободного падения стала замкнутой орбитой.

Именно потому, что спутник и все, что находится внутри него (включая космонавтов), находятся в состоянии свободного падения, внутри корабля наблюдается явление невесомости. Все объекты внутри падают вместе с кораблем с одинаковым ускорением, поэтому они не оказывают давления друг на друга и на опору.

Ответ: Да, можно. Движение спутника по орбите является классическим примером свободного падения, так как это движение происходит под действием одной лишь силы гравитации.

3. Можно ли считать обращение спутника вокруг Земли свободным падением?

3. Можно ли считать обращение спутника вокруг Земли свободным падением?

Да, движение спутника по орбите вокруг Земли можно и нужно считать свободным падением. Разберемся, почему это так.

Свободным падением в физике называют движение тела, на которое действует только сила гравитации (сила тяжести). Влиянием других сил, например, сопротивлением воздуха, пренебрегают.

Когда спутник находится на орбите, он движется на большой высоте, где атмосфера Земли очень разрежена. Поэтому сила сопротивления воздуха, действующая на спутник, ничтожно мала по сравнению с силой гравитационного притяжения Земли. Таким образом, можно считать, что единственная значимая сила, действующая на спутник, — это сила тяжести.

Из-за действия этой силы спутник постоянно "падает" в сторону Земли, то есть его траектория непрерывно отклоняется к центру планеты. Однако у спутника есть большая начальная скорость, направленная по касательной к орбите (горизонтальная скорость). Именно эта скорость не позволяет ему упасть на поверхность: за то время, пока спутник пролетает некоторое расстояние по горизонтали, поверхность Земли из-за ее кривизны "уходит" из-под него ровно на то же расстояние, на которое он "упал" по вертикали. В результате спутник остается на постоянной высоте от поверхности, двигаясь по круговой или эллиптической орбите. Этот процесс непрерывного падения и есть движение по орбите.

Ответ:

Да, обращение спутника вокруг Земли можно считать свободным падением, поскольку на него действует практически исключительно сила гравитационного притяжения Земли. Он непрерывно падает на Землю, но из-за большой скорости, направленной по касательной к траектории, постоянно "промахивается" мимо нее.

4. Что необходимо сделать с физическим телом, чтобы оно стало искусственным спутником Земли?

Чтобы физическое тело стало искусственным спутником Земли, необходимо совершить два ключевых действия:

1. Поднять тело на значительную высоту над поверхностью Земли (обычно более 150-200 км). Это делается для того, чтобы вывести тело за пределы плотных слоев атмосферы. Если бы тело двигалось с большой скоростью в атмосфере, сила сопротивления воздуха быстро затормозила бы его и вызвала падение на Землю.
2. Сообщить телу на этой высоте определенную скорость в направлении, перпендикулярном направлению к центру Земли (то есть по касательной к предполагаемой орбите). Эта скорость называется орбитальной скоростью.

Величина этой скорости критически важна:

• Если скорость будет недостаточной, тело полетит по эллиптической траектории, нижняя точка которой будет находиться внутри Земли, и в итоге оно упадет на поверхность.
• Если скорость будет равна так называемой первой космической скорости для данной высоты, тело будет двигаться по круговой орбите.
• Если скорость будет больше первой космической, но меньше второй, орбита станет эллиптической.
• Если скорость достигнет или превысит вторую космическую скорость (скорость убегания), тело преодолеет притяжение Земли и улетит в межпланетное пространство.

Первая космическая скорость $v_1$ для орбиты на высоте $h$ над поверхностью вычисляется по формуле, исходя из равенства силы тяготения $F_g$ и центростремительной силы $F_c$:

$F_g = F_c$

$G\frac{M \cdot m}{(R+h)^2} = \frac{m \cdot v_1^2}{R+h}$

Отсюда скорость для круговой орбиты: $v_1 = \sqrt{\frac{GM}{R+h}}$, где $G$ — гравитационная постоянная, $M$ — масса Земли, $R$ — радиус Земли.

Для низкой околоземной орбиты ($h \ll R$) первая космическая скорость составляет примерно 7,9 км/с.

Ответ:

Чтобы тело стало искусственным спутником Земли, его необходимо поднять на высоту, где практически отсутствует сопротивление воздуха, и сообщить ему скорость в горизонтальном направлении, равную первой космической скорости для данной высоты (для низких орбит около 7,9 км/с).

4. Что необходимо сделать с физическим телом, чтобы оно стало искусственным спутником Земли?

Что необходимо сделать с физическим телом, чтобы оно стало искусственным спутником Земли?

Чтобы физическое тело стало искусственным спутником Земли, необходимо выполнить два основных условия. Во-первых, тело нужно поднять на значительную высоту над поверхностью Земли, чтобы вывести его за пределы плотных слоев атмосферы (как правило, на высоту более 100 км). Это делается для того, чтобы сила сопротивления воздуха, которая тормозит движение, была пренебрежимо малой. Во-вторых, на этой высоте телу необходимо сообщить скорость в направлении, перпендикулярном к линии, соединяющей тело с центром Земли (то есть, по касательной к орбите). Величина этой скорости должна быть равна так называемой первой космической скорости ($v_1$) для данной высоты. Если скорость будет меньше $v_1$, тело упадет на Землю по баллистической траектории. Если скорость будет равна $v_1$, тело будет двигаться по круговой орбите. Если скорость будет больше $v_1$, но меньше второй космической скорости, орбита будет эллиптической.

Ответ: Тело необходимо поднять на высоту, где можно пренебречь сопротивлением атмосферы, и сообщить ему в горизонтальном направлении скорость, равную первой космической скорости для этой высоты.

5. Выведите формулу первой космической скорости.

Найти:

Формулу для первой космической скорости $v_1$.

Решение

Первая космическая скорость — это минимальная скорость, которую нужно сообщить телу у поверхности планеты, чтобы оно стало ее искусственным спутником, движущимся по круговой орбите.

Рассмотрим спутник массой $m$, который движется по круговой орбите вокруг Земли. Единственная сила, действующая на спутник (пренебрегая сопротивлением разреженной атмосферы), — это сила гравитационного притяжения со стороны Земли. Эта сила сообщает спутнику центростремительное ускорение $a_ц$, которое и удерживает его на круговой орбите.

По второму закону Ньютона:

$F_{грав} = m a_ц$

Сила гравитационного притяжения определяется законом всемирного тяготения:

$F_{грав} = G \frac{M m}{r^2}$

где $G$ — гравитационная постоянная, $M$ — масса Земли, $m$ — масса спутника, $r$ — радиус орбиты (расстояние от центра Земли до спутника).

Центростремительное ускорение тела, движущегося по окружности радиусом $r$ со скоростью $v$, равно:

$a_ц = \frac{v^2}{r}$

Подставим выражения для силы и ускорения в уравнение второго закона Ньютона:

$G \frac{M m}{r^2} = m \frac{v^2}{r}$

Масса спутника $m$ в левой и правой частях уравнения сокращается. Также можно сократить $r$. Получаем:

$G \frac{M}{r} = v^2$

Отсюда находим скорость спутника на круговой орбите:

$v = \sqrt{G \frac{M}{r}}$

Для определения первой космической скорости $v_1$ мы рассматриваем орбиту, находящуюся в непосредственной близости от поверхности Земли. В этом случае радиус орбиты $r$ можно считать равным радиусу Земли $R_З$.

$v_1 = \sqrt{G \frac{M}{R_З}}$

Эту же формулу можно выразить через ускорение свободного падения у поверхности Земли $g$. У поверхности Земли сила тяжести $F_{тяж} = mg$. Эта сила есть не что иное, как гравитационная сила $F_{грав} = G \frac{M m}{R_З^2}$. Приравнивая их, получаем:

$mg = G \frac{M m}{R_З^2}$

Отсюда следует, что $g = G \frac{M}{R_З^2}$, или $GM = gR_З^2$.

Теперь подставим произведение $GM$ в выведенную ранее формулу для $v_1$:

$v_1 = \sqrt{\frac{gR_З^2}{R_З}} = \sqrt{gR_З}$

Ответ: Формулы для первой космической скорости: $v_1 = \sqrt{G \frac{M}{R_З}}$ или $v_1 = \sqrt{gR_З}$, где $G$ — гравитационная постоянная, $M$ — масса Земли, $R_З$ — радиус Земли, $g$ — ускорение свободного падения у поверхности Земли.

5. Выведите формулу для расчёта первой космической скорости спутника, движущегося по круговой орбите вблизи поверхности Земли.

5. Решение

Первая космическая скорость ($v_1$) — это минимальная скорость, которую необходимо сообщить телу у поверхности планеты в горизонтальном направлении, чтобы оно стало её искусственным спутником, движущимся по круговой орбите.

Для того чтобы спутник двигался по круговой орбите, действующая на него сила всемирного тяготения ($F_g$) со стороны Земли должна сообщать ему центростремительное ускорение ($a_ц$). Согласно второму закону Ньютона, эта сила равна произведению массы спутника на центростремительное ускорение, то есть она и является центростремительной силой ($F_ц$).

Сила всемирного тяготения определяется по закону всемирного тяготения:

$F_g = G \frac{M \cdot m}{r^2}$

где $G$ — гравитационная постоянная, $M$ — масса Земли, $m$ — масса спутника, $r$ — радиус орбиты спутника.

Центростремительная сила, необходимая для движения по круговой орбите со скоростью $v_1$, равна:

$F_ц = m \cdot a_ц = \frac{m v_1^2}{r}$

Приравниваем выражения для силы тяготения и центростремительной силы:

$F_g = F_ц$

$G \frac{M \cdot m}{r^2} = \frac{m v_1^2}{r}$

Сократим массу спутника $m$ (она не влияет на величину первой космической скорости) и радиус $r$ (один раз в знаменателе и числителе):

$G \frac{M}{r} = v_1^2$

Отсюда выражаем первую космическую скорость:

$v_1 = \sqrt{G \frac{M}{r}}$

По условию задачи, спутник движется по круговой орбите вблизи поверхности Земли. Это означает, что радиус орбиты $r$ можно считать приблизительно равным радиусу Земли $R_З$ (пренебрегая высотой спутника над поверхностью по сравнению с радиусом Земли):

$r \approx R_З$

Тогда формула для первой космической скорости у поверхности Земли принимает вид:

$v_1 = \sqrt{G \frac{M}{R_З}}$

Эту формулу также можно выразить через ускорение свободного падения у поверхности Земли $g$. Ускорение свободного падения на поверхности планеты определяется из того же закона всемирного тяготения: $m g = G \frac{M m}{R_З^2}$, откуда следует, что $g = G \frac{M}{R_З^2}$. Из этого соотношения можно выразить произведение $GM = g R_З^2$.

Подставим это выражение в полученную нами формулу для $v_1$:

$v_1 = \sqrt{\frac{g R_З^2}{R_З}} = \sqrt{g R_З}$

Таким образом, мы вывели две эквивалентные формулы для расчёта первой космической скорости спутника, движущегося по круговой орбите вблизи поверхности Земли.

Ответ: Формула для расчёта первой космической скорости спутника, движущегося по круговой орбите вблизи поверхности Земли, может быть представлена в двух видах: $v_1 = \sqrt{G \frac{M}{R_З}}$ или $v_1 = \sqrt{g R_З}$, где $G$ — гравитационная постоянная, $M$ — масса Земли, $R_З$ — радиус Земли, $g$ — ускорение свободного падения у поверхности Земли.

6. Как движется спутник, обладающий первой космической скоростью; второй космической скоростью?

Спутник, обладающий первой космической скоростью

Первая космическая скорость ($v_1$) — это минимальная скорость, которую необходимо сообщить телу на определённой высоте над поверхностью небесного тела (в данном случае Земли), чтобы оно стало его искусственным спутником, движущимся по круговой орбите.

Для движения по круговой орбите сила всемирного тяготения, действующая на спутник, должна создавать центростремительное ускорение, необходимое для удержания на этой орбите. Согласно второму закону Ньютона:

$F_т = ma_{цс}$

$G\frac{Mm}{R^2} = \frac{mv_1^2}{R}$

где $G$ — гравитационная постоянная, $M$ — масса Земли, $m$ — масса спутника, а $R$ — радиус орбиты (для орбит вблизи поверхности принимается равным радиусу Земли).

Скорость, удовлетворяющая этому условию, и есть первая космическая скорость. Тело, обладающее такой скоростью, будет постоянно "падать" на Землю, но из-за своей горизонтальной скорости оно будет всё время "промахиваться" мимо поверхности, оставаясь на постоянном расстоянии от неё. Такая траектория является окружностью.

Ответ: Спутник, обладающий первой космической скоростью, движется вокруг Земли по круговой орбите.

Спутник, обладающий второй космической скоростью

Вторая космическая скорость ($v_2$), также известная как скорость убегания или параболическая скорость, — это наименьшая скорость, которую необходимо сообщить телу, чтобы оно преодолело гравитационное притяжение небесного тела (Земли) и покинуло замкнутую орбиту вокруг него.

При достижении этой скорости полная механическая энергия тела в гравитационном поле планеты становится равной нулю. Полная энергия $E$ — это сумма кинетической ($E_к$) и потенциальной ($E_п$) энергий:

$E = E_к + E_п = \frac{mv_2^2}{2} + \left(-G\frac{Mm}{R}\right) = 0$

Из этого условия следует, что $v_2 = \sqrt{\frac{2GM}{R}} = v_1\sqrt{2}$.

Траектория тела, полная энергия которого в гравитационном поле равна нулю, является параболой. Это означает, что тело, получившее такую скорость, будет бесконечно удаляться от Земли, и его скорость на бесконечном удалении будет стремиться к нулю.

Ответ: Спутник, обладающий второй космической скоростью, движется по параболической траектории, преодолевая притяжение Земли и навсегда покидая её окрестности.

Почему тела внутри спутника, движущегося за пределами земной атмосферы, невесомы?

Решение

Чтобы понять явление невесомости, для начала нужно определить, что такое вес тела. Вес $P$ — это сила, с которой тело вследствие гравитационного притяжения действует на опору или подвес. Вес не следует путать с силой тяжести ($F_g$), которая является силой, действующей на само тело со стороны гравитационного поля (например, Земли). В состоянии покоя на горизонтальной поверхности вес тела по модулю равен силе тяжести.

Спутник, который движется по орбите за пределами земной атмосферы, находится под постоянным воздействием силы тяжести Земли. Эта сила является центростремительной и заставляет спутник двигаться по круговой или эллиптической орбите, а не улетать в космос. Движение тела под действием одной лишь силы тяжести называется свободным падением. Таким образом, спутник постоянно находится в состоянии свободного падения — он как бы все время падает на Землю, но из-за своей большой горизонтальной скорости постоянно «промахивается».

Все тела, находящиеся внутри спутника, будь то космонавты или оборудование, также подвержены действию силы тяжести Земли. Поэтому они, так же как и сам спутник, находятся в состоянии свободного падения и движутся с одинаковым ускорением свободного падения $g$ (которое на высоте орбиты лишь немного меньше, чем у поверхности планеты).

Поскольку и оболочка спутника, и все тела внутри него падают на Землю вместе, с одним и тем же ускорением ($a = g$), они не движутся относительно друг друга. Тела не давят на пол или стенки спутника, а значит, сила реакции опоры $N$ со стороны спутника на тела равна нулю ($N=0$). Так как вес $P$ — это сила, с которой тело действует на опору, то при отсутствии взаимодействия с опорой вес тел также становится равным нулю ($P=0$). Это состояние и называется невесомостью.

Тела внутри спутника находятся в состоянии невесомости, потому что и сам спутник, и все тела внутри него движутся под действием только силы тяжести Земли. Это означает, что они находятся в состоянии непрерывного свободного падения. Так как спутник и тела в нём падают с одинаковым ускорением, они не давят друг на друга и на внутренние поверхности спутника. Отсутствие силы давления на опору означает, что вес тел равен нулю.

1. Определите скорость искусственного спутника Земли, если он движется по круговой орбите на высоте 2600 км над поверхностью Земли. (М_З = 6 • 10²⁴ кг.)

Дано:

$h = 2600 \text{ км} = 2.6 \cdot 10^6 \text{ м}$

$M_З = 6 \cdot 10^{24} \text{ кг}$

$G \approx 6.67 \cdot 10^{-11} \frac{\text{Н} \cdot \text{м}^2}{\text{кг}^2}$ (гравитационная постоянная)

$R_З \approx 6400 \text{ км} = 6.4 \cdot 10^6 \text{ м}$ (средний радиус Земли)

Найти:

$v$ — скорость искусственного спутника Земли.

Решение:

Спутник движется по круговой орбите, значит, на него действует сила всемирного тяготения, которая сообщает ему центростремительное ускорение. По второму закону Ньютона, сила тяготения $F_g$ равна центростремительной силе $F_ц$.

$F_g = F_ц$

Сила всемирного тяготения определяется выражением: $F_g = G \frac{M_З m}{r^2}$

Центростремительная сила, действующая на спутник: $F_ц = \frac{m v^2}{r}$

Здесь $m$ — масса спутника, $v$ — его скорость, $r$ — радиус орбиты. Приравняем правые части уравнений: $G \frac{M_З m}{r^2} = \frac{m v^2}{r}$

Сократив массу спутника $m$ и радиус $r$, получим формулу для вычисления квадрата скорости спутника: $v^2 = \frac{G M_З}{r}$

Следовательно, скорость спутника: $v = \sqrt{\frac{G M_З}{r}}$

Радиус орбиты $r$ — это сумма радиуса Земли $R_З$ и высоты орбиты $h$: $r = R_З + h$

Вычислим радиус орбиты: $r = 6.4 \cdot 10^6 \text{ м} + 2.6 \cdot 10^6 \text{ м} = 9.0 \cdot 10^6 \text{ м}$

Подставим все известные значения в формулу для скорости: $v = \sqrt{\frac{6.67 \cdot 10^{-11} \frac{\text{Н} \cdot \text{м}^2}{\text{кг}^2} \cdot 6 \cdot 10^{24} \text{ кг}}{9.0 \cdot 10^6 \text{ м}}} = \sqrt{\frac{40.02 \cdot 10^{13}}{9.0 \cdot 10^6}} \frac{\text{м}}{\text{с}}$

$v = \sqrt{4.4467 \cdot 10^7} \frac{\text{м}}{\text{с}} \approx 6668 \frac{\text{м}}{\text{с}}$

Округлим результат до двух значащих цифр, так как исходные данные имеют такую точность: $v \approx 6.7 \cdot 10^3 \frac{\text{м}}{\text{с}} = 6.7 \frac{\text{км}}{\text{с}}$

Ответ: скорость искусственного спутника Земли приблизительно равна $6.7 \text{ км/с}$.

2. Если бы на круговую орбиту вблизи поверхности Луны был выведен искусственный спутник, то он двигался бы со скоростью 1,67 км/с. Определите радиус Луны, если известно, что ускорение свободного падения на её поверхности равно 1,6 м/с².

Дано:

Скорость спутника на круговой орбите $v = 1,67 \text{ км/с}$

Ускорение свободного падения на поверхности Луны $g_Л = 1,6 \text{ м/с²}$

$v = 1670 \text{ м/с}$

Найти:

Радиус Луны $R_Л$

Для спутника, движущегося по круговой орбите, сила гравитационного притяжения Луны является центростремительной силой. Согласно второму закону Ньютона, эта сила сообщает спутнику центростремительное ускорение $a_ц$.

$F_т = ma_ц$

Сила тяжести, действующая на спутник у поверхности Луны, определяется по формуле $F_т = mg_Л$. Центростремительное ускорение вычисляется как $a_ц = \frac{v^2}{r}$.

Поскольку спутник движется по орбите вблизи поверхности Луны, радиус его орбиты $r$ можно считать равным радиусу Луны $R_Л$.

Приравняем выражения для силы тяжести и центростремительной силы:

$mg_Л = \frac{mv^2}{R_Л}$

Сократив массу спутника $m$ в обеих частях уравнения, получим следующее соотношение:

$g_Л = \frac{v^2}{R_Л}$

Из этой формулы выразим искомый радиус Луны $R_Л$:

$R_Л = \frac{v^2}{g_Л}$

Подставим числовые значения в систему СИ и выполним вычисления:

$R_Л = \frac{(1670 \text{ м/с})^2}{1,6 \text{ м/с²}} = \frac{2788900 \text{ м²/с²}}{1,6 \text{ м/с²}} = 1743062,5 \text{ м}$

Для удобства представим результат в километрах, округлив значение:

$1743062,5 \text{ м} \approx 1743 \text{ км}$

Ответ: радиус Луны составляет примерно 1743 км.

3. На каком расстоянии от Земли сила всемирного тяготения, действующая на тело, будет в 3 раза меньше, чем на поверхности Земли?

Дано:

$F_1$ — сила всемирного тяготения, действующая на тело на поверхности Земли.

$F_2$ — сила всемирного тяготения, действующая на тело на искомом расстоянии от Земли.

Соотношение сил: $\frac{F_1}{F_2} = 3$.

$R_З$ — радиус Земли. Примем средний радиус Земли $R_З \approx 6371 \text{ км}$.

Найти:

$h$ — расстояние от поверхности Земли, на котором сила тяготения будет в 3 раза меньше.

Решение:

Сила всемирного тяготения описывается законом Ньютона:

$F = G \frac{M m}{d^2}$

где $G$ — гравитационная постоянная, $M$ — масса Земли, $m$ — масса тела, а $d$ — расстояние между центрами масс Земли и тела.

На поверхности Земли расстояние $d$ равно радиусу Земли $R_З$. Сила тяготения $F_1$ на поверхности равна:

$F_1 = G \frac{M m}{R_З^2}$

На искомом расстоянии $h$ от поверхности Земли, общее расстояние от центра Земли будет $r = R_З + h$. Сила тяготения $F_2$ на этом расстоянии равна:

$F_2 = G \frac{M m}{r^2} = G \frac{M m}{(R_З + h)^2}$

По условию задачи, сила на поверхности в 3 раза больше, чем на искомом расстоянии, то есть $F_1 = 3 F_2$. Подставим выражения для сил в это равенство:

$G \frac{M m}{R_З^2} = 3 \cdot \left( G \frac{M m}{(R_З + h)^2} \right)$

Сократим одинаковые множители ($G$, $M$, $m$) в обеих частях уравнения:

$\frac{1}{R_З^2} = \frac{3}{(R_З + h)^2}$

Из этого соотношения выразим квадрат расстояния от центра Земли $(R_З + h)^2$:

$(R_З + h)^2 = 3 R_З^2$

Извлечем квадратный корень из обеих частей уравнения (так как расстояние является положительной величиной):

$R_З + h = \sqrt{3 R_З^2} = R_З \sqrt{3}$

Теперь выразим искомое расстояние $h$ от поверхности Земли:

$h = R_З \sqrt{3} - R_З = R_З (\sqrt{3} - 1)$

Это и есть ответ в общем виде. Для получения численного значения подставим средний радиус Земли $R_З \approx 6371 \text{ км}$ и значение $\sqrt{3} \approx 1.732$:

$h \approx 6371 \text{ км} \cdot (1.732 - 1) = 6371 \text{ км} \cdot 0.732 \approx 4663.6 \text{ км}$

Округлим результат до целых километров.

Ответ: сила всемирного тяготения будет в 3 раза меньше, чем на поверхности, на расстоянии (высоте) $h = R_З(\sqrt{3}-1)$ от поверхности Земли, что составляет примерно 4664 км.

4. Ракета, пущенная вертикально вверх, поднялась на высоту 3200 км над поверхностью Земли и начала падать. Какой путь пройдёт ракета за первую секунду своего падения?

Дано

Высота подъема ракеты над поверхностью Земли: $h = 3200 \text{ км} = 3.2 \cdot 10^6 \text{ м}$

Время падения: $t = 1 \text{ с}$

Начальная скорость падения: $v_0 = 0 \text{ м/с}$

Радиус Земли (средний): $R_З \approx 6400 \text{ км} = 6.4 \cdot 10^6 \text{ м}$

Ускорение свободного падения у поверхности Земли: $g_0 \approx 9.8 \text{ м/с}^2$

Найти:

Путь, пройденный ракетой за первую секунду падения: $S - ?$

Решение

Когда ракета достигает максимальной высоты, ее скорость становится равной нулю, и она начинает падать. Это движение является свободным падением. Однако ускорение свободного падения зависит от расстояния до центра Земли, поэтому на высоте $h = 3200 \text{ км}$ оно будет отличаться от стандартного значения $g_0$ у поверхности.

Ускорение свободного падения $g_h$ на высоте $h$ можно найти, используя закон всемирного тяготения. Связь между ускорением на высоте $h$ и ускорением у поверхности $g_0$ выражается формулой: $g_h = g_0 \left(\frac{R_З}{R_З + h}\right)^2$ где $R_З$ – радиус Земли.

Подставим известные значения и вычислим ускорение, с которым ракета начнет падать: $g_h = 9.8 \frac{\text{м}}{\text{с}^2} \cdot \left(\frac{6400 \text{ км}}{6400 \text{ км} + 3200 \text{ км}}\right)^2 = 9.8 \cdot \left(\frac{6400}{9600}\right)^2 = 9.8 \cdot \left(\frac{2}{3}\right)^2 = 9.8 \cdot \frac{4}{9} \approx 4.36 \frac{\text{м}}{\text{с}^2}$

За первую секунду падения ракета пройдет небольшое расстояние, поэтому ее высота изменится незначительно. Это позволяет нам считать движение в течение этой секунды равноускоренным с постоянным ускорением $a = g_h$.

Путь, пройденный телом при равноускоренном движении без начальной скорости ($v_0 = 0$), находится по формуле: $S = \frac{a t^2}{2}$

Теперь мы можем рассчитать путь, который пройдет ракета: $S = \frac{g_h t^2}{2} = \frac{4.36 \frac{\text{м}}{\text{с}^2} \cdot (1 \text{ с})^2}{2} = 2.18 \text{ м}$

Ответ: за первую секунду своего падения ракета пройдёт путь примерно $2.18 \text{ м}$.