Страница 110 - гдз по физике 9 класс учебник Пёрышкин, Гутник

1. Сформулируйте условие равновесия материальной точки.

Сформулируйте условие равновесия материальной точки.

Равновесие материальной точки — это состояние, в котором точка либо покоится, либо движется прямолинейно и равномерно относительно инерциальной системы отсчета. Такое состояние возможно только тогда, когда действие на точку всех внешних сил скомпенсировано.

Условие равновесия выводится из второго закона Ньютона, который гласит, что равнодействующая всех сил, приложенных к телу ($ \vec{F}_{равн} $), равна произведению массы тела ($m$) на его ускорение ($ \vec{a} $): $ \vec{F}_{равн} = m\vec{a} $.

В состоянии равновесия скорость материальной точки не изменяется ($ \vec{v} = \text{const} $), а это означает, что ее ускорение равно нулю ($ \vec{a} = 0 $). Подставив это значение в формулу второго закона Ньютона, получаем, что равнодействующая всех приложенных к точке сил также должна быть равна нулю.

Таким образом, основное условие равновесия материальной точки формулируется так: для того чтобы материальная точка находилась в равновесии, необходимо, чтобы векторная сумма всех приложенных к ней сил была равна нулю.

В математической форме это условие записывается следующим образом:

$ \vec{F}_{равн} = \vec{F}_1 + \vec{F}_2 + \dots + \vec{F}_n = \sum_{i=1}^{n} \vec{F}_i = 0 $

где $ \vec{F}_i $ — это $i$-ая сила, действующая на материальную точку.

Данное векторное равенство равносильно системе из трех (для трехмерного пространства) или двух (для плоскости) скалярных уравнений. Для этого векторное уравнение проецируют на оси координат. Например, для декартовой системы координат Oxyz условие равновесия в проекциях будет выглядеть так:

$ \sum F_{ix} = 0 $

$ \sum F_{iy} = 0 $

$ \sum F_{iz} = 0 $

Это означает, что для равновесия необходимо, чтобы алгебраическая сумма проекций всех сил на каждую из координатных осей была равна нулю.

Ответ: Материальная точка находится в равновесии, если геометрическая (векторная) сумма всех сил, действующих на эту точку, равна нулю: $ \sum \vec{F} = 0 $.

2. В каких случаях реальное тело можно рассматривать как абсолютно твёрдое?

Сформулируйте условие равновесия материальной точки.

Материальная точка находится в равновесии, если она покоится или движется прямолинейно и равномерно относительно инерциальной системы отсчета. Согласно первому закону Ньютона, такое состояние возможно только в том случае, если на точку не действуют другие тела (она изолирована) или действие других тел скомпенсировано.

Согласно второму закону Ньютона, ускорение материальной точки $ \vec{a} $ прямо пропорционально равнодействующей всех приложенных к ней сил $ \sum \vec{F}_i $ и обратно пропорционально ее массе $ m $: $ \sum \vec{F}_i = m\vec{a} $.

В состоянии равновесия скорость материальной точки постоянна ($ \vec{v} = \text{const} $), а значит, ее ускорение равно нулю ($ \vec{a} = 0 $). Следовательно, условием равновесия материальной точки является равенство нулю векторной суммы (равнодействующей) всех сил, приложенных к этой точке.

Математически это условие записывается так:

$ \sum_{i=1}^{n} \vec{F}_i = \vec{F}_1 + \vec{F}_2 + \dots + \vec{F}_n = 0 $

В проекциях на оси прямоугольной системы координат это векторное уравнение эквивалентно трем скалярным уравнениям:

$ \sum F_{ix} = 0 $

$ \sum F_{iy} = 0 $

$ \sum F_{iz} = 0 $

Это означает, что суммы проекций всех сил на каждую из координатных осей должны быть равны нулю.

Ответ: Для равновесия материальной точки необходимо и достаточно, чтобы векторная сумма всех приложенных к ней сил была равна нулю.

2. В каких случаях реальное тело можно рассматривать как абсолютно твёрдое?

Абсолютно твёрдое тело — это физическая модель, представляющая собой тело, расстояние между любыми двумя точками которого остаётся неизменным, независимо от действующих на него внешних сил. То есть, это тело, которое не деформируется.

В реальности все тела деформируются под действием сил. Однако во многих задачах механики эти деформации настолько малы, что ими можно пренебречь. Реальное тело можно рассматривать как абсолютно твёрдое в тех случаях, когда его деформации не оказывают существенного влияния на характер его движения или условия равновесия.

Это допущение справедливо, если:

• Приложенные силы невелики по сравнению с силами, способными вызвать заметное изменение формы или размеров тела.
• Целью задачи является изучение поступательного или вращательного движения тела как единого целого, а не анализ внутренних напряжений и деформаций.
• Жёсткость материала, из которого сделано тело, достаточно велика.

Например, при расчете траектории полета брошенного камня его деформацией в полете пренебрегают. При анализе вращения планет вокруг Солнца их считают абсолютно твёрдыми телами. Инженер при расчете усилий в элементах стальной фермы может считать стержни абсолютно твёрдыми, если его интересуют только силы, а не малые прогибы.

Ответ: Реальное тело можно рассматривать как абсолютно твёрдое, если его деформации под действием приложенных сил пренебрежимо малы и не влияют на решаемую задачу, связанную с движением или равновесием тела как целого.

3. Сформулируйте условие равновесия невращающегося тела.

Невращающееся тело — это тело, которое совершает только поступательное движение. При поступательном движении все точки тела движутся одинаково, и движение тела можно описать движением одной его точки, например, центра масс.

Равновесие невращающегося тела означает, что оно либо находится в состоянии покоя, либо движется поступательно с постоянной скоростью. В обоих случаях ускорение центра масс тела равно нулю ($ \vec{a}_{CM} = 0 $).

Согласно закону движения центра масс системы (который применим и к твёрдому телу), ускорение центра масс тела определяется векторной суммой всех внешних сил, приложенных к телу, и его полной массой $ M $:

$ M\vec{a}_{CM} = \sum \vec{F}_{ext} $.

Поскольку для равновесия $ \vec{a}_{CM} = 0 $, то и равнодействующая всех внешних сил должна быть равна нулю.

Математически это условие (называемое первым условием равновесия) записывается так:

$ \sum \vec{F}_{ext} = 0 $.

Это условие гарантирует отсутствие поступательного ускорения. Поскольку в условии задачи тело уже названо невращающимся, то условие отсутствия вращательного ускорения (равенство нулю суммы моментов всех сил) считается выполненным или не рассматривается.

Ответ: Условием равновесия невращающегося тела является равенство нулю векторной суммы всех внешних сил, приложенных к этому телу.

3. Сформулируйте условие равновесия невращающегося твёрдого тела.

Сформулируйте условие равновесия невращающегося твёрдого тела.

Условие равновесия для невращающегося твёрдого тела (то есть тела, которое может совершать только поступательное движение) заключается в том, что геометрическая (векторная) сумма всех внешних сил, приложенных к этому телу, должна быть равна нулю. Это условие также называют первым условием равновесия.

Если на тело действуют силы $\vec{F}_1, \vec{F}_2, \dots, \vec{F}_n$, то условие равновесия записывается следующим образом: $$ \sum_{i=1}^{n} \vec{F}_i = \vec{F}_1 + \vec{F}_2 + \dots + \vec{F}_n = 0 $$

Выполнение этого условия означает, что равнодействующая всех сил, приложенных к телу, равна нулю. В соответствии со вторым законом Ньютона ($ \vec{F}_{равн} = m\vec{a} $), равенство нулю равнодействующей силы приводит к тому, что ускорение центра масс тела также равно нулю ($ \vec{a} = 0 $). Это значит, что тело либо находится в состоянии покоя, либо движется прямолинейно и равномерно (сохраняет свою скорость постоянной).

Ответ: Для того чтобы невращающееся твёрдое тело находилось в равновесии, необходимо, чтобы векторная сумма всех приложенных к нему внешних сил была равна нулю: $ \sum \vec{F} = 0 $.

4. Что называют плечом силы; моментом силы?

Плечом силы называют кратчайшее расстояние от оси вращения тела до линии действия силы. Геометрически это длина перпендикуляра, опущенного из точки на оси вращения на прямую, содержащую вектор силы. Плечо силы обычно обозначают буквами $d$ или $l$.

Моментом силы (или вращающим моментом) называют физическую величину, которая является мерой вращательного действия силы на твёрдое тело. Момент силы относительно оси вращения равен произведению модуля силы на её плечо.

Формула для расчёта момента силы $M$: $$ M = F \cdot d $$ где $F$ — модуль приложенной силы, а $d$ — плечо этой силы.

Момент силы — это псевдовекторная величина. Его направление перпендикулярно плоскости вращения и определяется по правилу правой руки (или правилу буравчика). В плоских задачах принято считать момент силы положительным, если сила стремится повернуть тело против часовой стрелки, и отрицательным — если по часовой стрелке.

В Международной системе единиц (СИ) момент силы измеряется в ньютон-метрах (Н·м).

Ответ:Плечо силы — это кратчайшее расстояние, проведённое от оси вращения до линии действия силы. Момент силы — это физическая величина, равная произведению модуля силы на её плечо ($ M = F \cdot d $) и характеризующая вращательный эффект, производимый силой.

4. Что называют плечом силы; моментом силы?

плечом силы

Плечом силы называют кратчайшее расстояние от оси вращения до линии, вдоль которой действует сила. Плечо силы всегда перпендикулярно линии действия силы.

Обозначается плечо силы обычно буквой $d$ или $l$. В Международной системе единиц (СИ) плечо силы измеряется в метрах (м). Чем больше плечо силы, тем большее вращательное действие оказывает сила при той же величине.

Ответ: Плечо силы — это кратчайшее расстояние, проведённое от оси вращения до линии действия силы.

моментом силы

Моментом силы (или вращающим моментом) называют физическую величину, которая характеризует способность силы вызывать вращение твёрдого тела вокруг неподвижной оси.

Момент силы $M$ определяется как произведение модуля силы $F$ на её плечо $d$:

$M = F \cdot d$

Момент силы является векторной величиной. В задачах, где все силы лежат в одной плоскости, его часто рассматривают как скалярную величину, приписывая ему знак «+» или «–» в зависимости от направления вращения, которое он вызывает (например, против часовой стрелки — положительный, по часовой — отрицательный).

Единицей измерения момента силы в системе СИ является ньютон-метр (Н·м).

Ответ: Момент силы — это физическая величина, равная произведению модуля силы на её плечо ($M = F \cdot d$), характеризующая вращательное действие силы.

5. Сформулируйте условие равновесия твёрдого тела с закреплённой осью вращения.

Сформулируйте условие равновесия твёрдого тела с закрепленной осью вращения.

Твёрдое тело с закреплённой осью вращения находится в равновесии, если алгебраическая сумма моментов всех приложенных к телу сил относительно этой оси равна нулю. Это условие также известно как правило моментов.

Математически это условие можно записать в виде формулы:

$\sum M_i = 0$

где $M_i$ — это момент $i$-ой силы относительно оси вращения. Под алгебраической суммой понимается, что моменты сил, которые вызывают вращение тела в одном направлении (например, против часовой стрелки), считаются положительными, а моменты сил, вызывающие вращение в противоположном направлении (по часовой стрелке), — отрицательными. Следовательно, для равновесия сумма моментов, вращающих тело в одну сторону, должна быть равна сумме моментов, вращающих его в другую сторону.

Ответ: Условие равновесия твёрдого тела с закрепленной осью вращения заключается в том, что алгебраическая сумма моментов всех действующих на него сил относительно этой оси должна быть равна нулю.

6. Что называют центром тяжести?

Центром тяжести твёрдого тела называют точку, к которой приложена равнодействующая всех сил тяжести, действующих на отдельные частицы этого тела. Это воображаемая точка, относительно которой суммарный момент сил тяжести равен нулю.

Если тело подвесить за его центр тяжести, оно будет находиться в состоянии безразличного равновесия, то есть будет сохранять любое положение, которое ему придадут. В однородном гравитационном поле, каким можно считать поле Земли в пределах размеров большинства тел, центр тяжести совпадает с центром масс тела.

Ответ: Центром тяжести тела называют точку приложения равнодействующей сил тяжести, действующих на все частицы данного тела.

7. Как экспериментально...

Для экспериментального определения центра тяжести плоского тела (например, вырезанного из картона) используют метод подвешивания. Сначала в теле вблизи его края проделывают отверстие и подвешивают тело на гвозде или игле так, чтобы оно могло свободно вращаться. К этой же точке подвеса прикрепляют отвес (нить с грузом). После того как колебания прекратятся, на теле проводят вертикальную линию вдоль нити отвеса. Центр тяжести тела находится где-то на этой линии.

Затем эту процедуру повторяют, подвесив тело за другую точку, расположенную в стороне от первой. Проводят вторую вертикальную линию. Точка пересечения двух проведённых линий и является искомым центром тяжести. Для повышения точности и проверки результата можно подвесить тело за третью точку и убедиться, что третья линия также проходит через найденную точку пересечения.

Ответ: Экспериментально центр тяжести плоской фигуры находят как точку пересечения двух или более вертикальных линий, которые проводят на фигуре, когда она находится в равновесии при подвешивании последовательно за разные точки.

6. Что называют центром тяжести?

Центр тяжести — это воображаемая точка, к которой приложена равнодействующая всех сил тяжести, действующих на отдельные частицы данного тела. Другими словами, это точка, относительно которой суммарный момент сил тяжести, действующих на тело, равен нулю.

Любое физическое тело можно мысленно разбить на множество малых элементов (частиц), на каждый из которых действует сила тяжести. В условиях однородного гравитационного поля (например, для объектов, размеры которых малы по сравнению с размерами Земли), эти силы параллельны друг другу и направлены к центру Земли. Центр тяжести — это точка приложения их равнодействующей, то есть силы, которая эквивалентна сумме всех этих элементарных сил тяжести.

Важно различать понятия центра тяжести и центра масс.

• Центр масс (или центр инерции) — это точка, характеризующая распределение массы в теле. Её положение зависит только от геометрии тела и распределения плотности. Координаты центра масс $ \vec{r}_{цм} $ для системы материальных точек определяются формулой:

  $ \vec{r}_{цм} = \frac{\sum_{i} m_i \vec{r}_i}{\sum_{i} m_i} $, где $ m_i $ — масса i-й точки, а $ \vec{r}_i $ — её радиус-вектор.

• Центр тяжести, как было сказано, — это точка приложения равнодействующей силы тяжести.

В однородном гравитационном поле, где ускорение свободного падения $ \vec{g} $ одинаково во всех точках тела ($ \vec{g} = \text{const} $), центр тяжести и центр масс совпадают. Именно поэтому в большинстве школьных и инженерных задач эти два понятия используются как синонимы.

Однако, если тело находится в неоднородном гравитационном поле (например, очень протяженный объект в космосе), где вектор $ \vec{g} $ меняется от точки к точке, положение центра тяжести может не совпадать с положением центра масс.

Положение центра тяжести имеет большое практическое значение для определения устойчивости тела. Тело находится в устойчивом равновесии, если вертикаль, проведенная из его центра тяжести, проходит внутри площади опоры.

Ответ: Центром тяжести называют точку приложения равнодействующей сил тяжести, действующих на все частицы тела. В однородном гравитационном поле центр тяжести совпадает с центром масс.

7. Как экспериментально определить положение центра тяжести тела?

Что называют центром тяжести?

Центром тяжести твердого тела называют точку, к которой приложена равнодействующая сил тяжести, действующих на все элементарные частицы этого тела, причем положение этой точки не зависит от ориентации тела в пространстве. Проще говоря, это воображаемая точка, в которой можно считать сосредоточенным весь вес тела. Если тело опереть или подвесить в его центре тяжести, оно будет находиться в состоянии безразличного равновесия, так как момент силы тяжести относительно этой точки всегда равен нулю.

В однородном гравитационном поле, каким с высокой точностью является поле тяжести у поверхности Земли, центр тяжести совпадает с центром масс (центром инерции) тела. Центр масс — это точка, характеризующая распределение массы в теле. Её радиус-вектор $\vec{r}_c$ для системы материальных точек определяется по формуле:

$\vec{r}_c = \frac{\sum m_i \vec{r}_i}{\sum m_i}$

где $m_i$ — масса $i$-той частицы тела, а $\vec{r}_i$ — её радиус-вектор. В большинстве школьных и инженерных задач понятия "центр тяжести" и "центр масс" используются как синонимы.

Ответ: Центр тяжести — это точка приложения равнодействующей всех сил тяжести, действующих на тело.

7. Как экспериментально определить положение центра тяжести тела?

Положение центра тяжести, особенно для плоского тела (пластины) неправильной формы, можно легко определить экспериментально методом подвешивания. Метод основан на том, что свободно подвешенное тело приходит в состояние равновесия, когда его центр тяжести оказывается на вертикальной прямой, проходящей через точку подвеса. Порядок действий следующий: во-первых, нужно подвесить тело за любую точку (например, А) на его краю так, чтобы оно могло свободно вращаться. Во-вторых, после того как колебания прекратятся, с помощью отвеса (нитки с грузом) необходимо прочертить на теле вертикальную линию, идущую вниз от точки подвеса А. Центр тяжести будет лежать на этой линии. В-третьих, следует подвесить тело за другую точку (В), расположенную в стороне от первой. В-четвертых, нужно снова дождаться равновесия и провести вторую вертикальную линию от точки В. Точка пересечения этих двух линий и является искомым центром тяжести тела. Для проверки и повышения точности можно повторить опыт, подвесив тело за третью точку. Третья линия также должна пройти через найденную точку пересечения.

Ответ: Экспериментально центр тяжести можно определить методом подвешивания: нужно подвесить тело последовательно за две разные точки и провести вертикальные линии от точек подвеса; точка пересечения этих линий и будет центром тяжести.

8. Может ли ...

Хотя вопрос на изображении представлен не полностью, наиболее вероятным его продолжением является: "...центр тяжести находиться вне тела?". Ответ на этот вопрос — да, может. Центр тяжести может располагаться вне пределов физического тела. Это характерно для объектов, имеющих полости или сложную (например, изогнутую) форму. Центр тяжести — это геометрическая точка, положение которой определяется распределением массы, и она не обязательно должна совпадать с материальной частью объекта. Примерами могут служить: кольцо, бублик или обруч (центр тяжести находится в их геометрическом центре, то есть в пустоте); подкова или бумеранг (центр тяжести вынесен в пространство внутри изгиба); полая сфера (центр тяжести в центре полости). Этот принцип находит применение и в спорте: в прыжках в высоту стилем "фосбери-флоп" атлет изгибается над планкой таким образом, что его общий центр тяжести проходит под ней, позволяя телу преодолеть большую высоту.

Ответ: Да, центр тяжести может находиться вне тела. Например, у кольца или подковы он находится в пустом пространстве.

8. Может ли измениться положение центра тяжести тела относительно тела?

Экспериментальное определение положения центра тяжести плоского тела

Центр тяжести — это точка, к которой условно приложена равнодействующая всех сил тяжести, действующих на отдельные частицы тела. В однородном поле тяжести (например, вблизи поверхности Земли) центр тяжести совпадает с центром масс. Положение центра тяжести плоского тела можно определить экспериментально следующим образом:

1. Возьмите плоское тело неправильной формы (например, вырезанное из картона).

2. Проделайте в теле небольшое отверстие (точка А) у края и подвесьте его на гвоздь или иглу так, чтобы оно могло свободно качаться.

3. Когда тело установится в положение равновесия, его центр тяжести будет находиться на вертикальной линии, проходящей через точку подвеса. Чтобы найти эту линию, используют отвес — нить с грузом на конце. Подвесьте отвес на тот же гвоздь и, когда он успокоится, проведите на теле линию вдоль нити.

4. Проделайте второе отверстие (точка В) в другой части тела и повторите процедуру: подвесьте тело за точку В и проведите новую вертикальную линию с помощью отвеса.

5. Точка пересечения двух проведённых линий и есть искомый центр тяжести тела. Для большей точности можно проделать третье отверстие и убедиться, что третья линия также пройдёт через эту точку.

Этот метод позволяет наглядно и просто найти центр тяжести для любого плоского тела. Важно отметить, что центр тяжести может находиться и вне пределов самого тела (например, у кольца, бублика или подковы).

Ответ: Положение центра тяжести плоского тела можно определить, подвесив его последовательно за две разные точки и найдя пересечение вертикальных линий, проведённых из точек подвеса в состоянии равновесия. Эти вертикали находят с помощью отвеса.

8. Может ли измениться положение центра тяжести тела относительно тела?

Положение центра тяжести тела определяется распределением массы внутри этого тела. Координаты центра тяжести ($ \vec{r}_{цт} $) для системы материальных точек вычисляются по формуле: $ \vec{r}_{цт} = \frac{\sum m_i \vec{r}_i}{\sum m} $, где $ m_i $ — масса $ i $-й точки, $ \vec{r}_i $ — её радиус-вектор, а $ m = \sum m_i $ — полная масса системы.

Ответ на вопрос зависит от того, является ли тело абсолютно твёрдым. Для абсолютно твёрдого тела, у которого взаимное расположение частиц не меняется, распределение массы постоянно. Следовательно, положение его центра тяжести относительно самого тела не может измениться. В этом случае центр тяжести — это его постоянная геометрическая характеристика. Однако для деформируемого тела или системы тел, части которой могут перемещаться друг относительно друга, распределение массы может изменяться. В этом случае положение центра тяжести может измениться относительно тела.

Приведём несколько примеров:

Человек: Когда человек стоит прямо, его центр тяжести находится в области таза. Если он поднимет руки, его центр тяжести сместится вверх. При наклоне вперёд центр тяжести смещается вперёд и вниз. Таким образом, изменяя позу, человек изменяет положение своего центра тяжести относительно своего тела.

Автомобиль с топливом: По мере расходования топлива в баке общая масса автомобиля и её распределение меняются, что приводит к небольшому смещению центра тяжести.

Гибкая цепь: У прямой цепи центр тяжести находится в её середине. Если согнуть цепь, её центр тяжести сместится и может оказаться в пустом пространстве (например, внутри кольца, если свернуть цепь в кольцо).

Ракета: По мере сгорания топлива и отброса продуктов горения, масса ракеты уменьшается, а ее центр масс смещается к головной части.

Ответ: Да, положение центра тяжести тела относительно самого тела может измениться. Это происходит в том случае, если тело не является абсолютно твёрдым, то есть может изменять свою форму (как человек или гибкая цепь), или если меняется его состав (например, при расходовании топлива в ракете). Для абсолютно твёрдого тела положение центра тяжести постоянно.

1. Выполняется ли в случае равновесия твёрдого тела с закреплённой осью вращения условие равенства нулю суммы действующих на тело внешних сил?

Да, это условие выполняется. Для полного понимания рассмотрим этот вопрос подробно.

Общие условия равновесия абсолютно твердого тела в инерциальной системе отсчета требуют, чтобы тело не имело ни линейного, ни углового ускорения. Это выражается двумя фундаментальными условиями:

1. Первое условие равновесия (для поступательного движения): векторная сумма всех внешних сил, приложенных к телу, должна быть равна нулю. $ \sum \vec{F}_{ext} = 0 $ Это условие эквивалентно тому, что ускорение центра масс тела равно нулю ($ \vec{a}_{cm} = 0 $).

2. Второе условие равновесия (для вращательного движения): сумма моментов (вращающих моментов) всех внешних сил относительно любой неподвижной точки (или центра масс) должна быть равна нулю. $ \sum \vec{M}_{ext} = 0 $ Это условие эквивалентно тому, что угловое ускорение тела равно нулю ($ \vec{\varepsilon} = 0 $).

Теперь рассмотрим случай твердого тела с закрепленной осью вращения. Такая формулировка означает, что тело лишено возможности двигаться поступательно — его ось остается неподвижной. Единственно возможное движение для такого тела — вращение вокруг этой оси.

Если такое тело находится в равновесии, это означает, что оно покоится. Состояние покоя — это частный случай движения с нулевым линейным ускорением ($ \vec{a}_{cm} = 0 $) и нулевым угловым ускорением ($ \vec{\varepsilon} = 0 $).

Поскольку линейное ускорение центра масс тела равно нулю, то согласно второму закону Ньютона для поступательного движения ($ \sum \vec{F}_{ext} = m\vec{a}_{cm} $), первое условие равновесия должно выполняться: $ \sum \vec{F}_{ext} = 0 $

Ключевой момент заключается в том, что в состав «внешних сил» входят не только те силы, которые мы активно прикладываем (например, сила тяжести, сила натяжения нити, сила давления), но и силы реакции, действующие на тело со стороны закрепленной оси. Именно ось вращения "берёт на себя" задачу обеспечить выполнение первого условия равновесия. Она создает силу реакции, которая в векторной сумме с остальными силами дает ноль, тем самым не позволяя телу двигаться поступательно.

Таким образом, хотя для обеспечения отсутствия вращения тела с закрепленной осью достаточно потребовать, чтобы сумма моментов сил относительно этой оси была равна нулю, общее условие равновесия о равенстве нулю суммы всех внешних сил также остается справедливым.

Ответ: Да, в случае равновесия твёрдого тела с закреплённой осью вращения условие равенства нулю суммы всех действующих на тело внешних сил выполняется. Это является следствием первого закона Ньютона (или первого условия равновесия), поскольку тело по определению не имеет поступательного ускорения. В сумму внешних сил необходимо включать силы реакции, действующие на тело со стороны оси вращения.

2. Докажите, что сила тяжести и сила упругости, действующие на картонную фигуру (см. рис. 69, в), направлены вдоль одной прямой.

Решение

Рассмотрим картонную фигуру как твердое тело, которое находится в состоянии покоя. Это означает, что фигура находится в равновесии. Для того чтобы тело находилось в равновесии, необходимо выполнение двух условий.

Первое условие равновесия гласит, что векторная сумма всех сил, действующих на тело, должна быть равна нулю. На картонную фигуру действуют две основные силы: сила тяжести $ \vec{F}_{тяж} $, направленная вертикально вниз, и сила упругости $ \vec{F}_{упр} $ со стороны подвеса (или опоры), направленная вертикально вверх.

$ \sum \vec{F} = \vec{F}_{тяж} + \vec{F}_{упр} = 0 $

Из этого равенства следует, что силы равны по модулю и противоположны по направлению:

$ \vec{F}_{упр} = - \vec{F}_{тяж} $

Это означает, что векторы сил $ \vec{F}_{тяж} $ и $ \vec{F}_{упр} $ параллельны друг другу.

Второе условие равновесия гласит, что сумма моментов всех сил, действующих на тело, относительно любой точки (или оси вращения) должна быть равна нулю.

$ \sum \vec{\tau} = 0 $

Выберем в качестве точки, относительно которой будем вычислять моменты сил, центр тяжести фигуры. Сила тяжести $ \vec{F}_{тяж} $ по определению приложена к центру тяжести. Плечо этой силы относительно центра тяжести равно нулю, следовательно, и момент силы тяжести $ \tau_{тяж} $ равен нулю.

Для выполнения условия равновесия ($ \sum \vec{\tau} = 0 $) момент силы упругости $ \tau_{упр} $ относительно центра тяжести также должен быть равен нулю. Момент силы равен нулю, если ее линия действия проходит через точку, относительно которой он вычисляется. Таким образом, линия действия силы упругости $ \vec{F}_{упр} $ должна проходить через центр тяжести фигуры.

Итак, мы получили, что: 1. Сила тяжести и сила упругости параллельны. 2. Линия действия силы тяжести проходит через центр тяжести. 3. Линия действия силы упругости также проходит через центр тяжести.

Поскольку обе силы параллельны и их линии действия проходят через одну и ту же точку (центр тяжести), они действуют вдоль одной прямой.

Ответ: Фигура находится в состоянии равновесия. Из первого условия равновесия ($ \sum \vec{F} = 0 $) следует, что сила тяжести и сила упругости параллельны. Из второго условия равновесия ($ \sum \vec{\tau} = 0 $), рассмотренного относительно центра тяжести, следует, что линия действия силы упругости проходит через центр тяжести. Так как сила тяжести также приложена к центру тяжести, то обе силы, будучи параллельными и имея общую точку на своих линиях действия, направлены вдоль одной прямой.

3. Подумайте, при каких условиях картина будет висеть ровно на одном гвозде.

Для того чтобы тело (в данном случае картина) находилось в состоянии покоя, оно должно быть в равновесии. Для равновесия твердого тела необходимо одновременное выполнение двух условий:

1. Равновесие сил (отсутствие поступательного ускорения): векторная сумма всех внешних сил, действующих на тело, должна быть равна нулю.

$\sum \vec{F} = 0$

2. Равновесие моментов сил (отсутствие углового ускорения): алгебраическая сумма моментов всех внешних сил относительно любой оси вращения должна быть равна нулю.

$\sum M = 0$

Рассмотрим, как эти условия применяются к картине на одном гвозде.

На картину, висящую на гвозде, действуют две основные силы:

• Сила тяжести ($\vec{F_g}$), которая приложена к центру масс (центру тяжести) картины и направлена строго вертикально вниз.
• Сила упругости или реакции опоры ($\vec{N}$), которая действует со стороны гвоздя на картину в точке подвеса и направлена вертикально вверх.

Первое условие равновесия (равновесие сил) будет выполнено, если сила реакции опоры $\vec{N}$ будет равна по модулю и противоположна по направлению силе тяжести $\vec{F_g}$.

$\vec{N} + \vec{F_g} = 0$

Это означает, что гвоздь должен быть достаточно прочным, чтобы выдержать вес картины. Данное условие обеспечивает то, что картина не будет падать или взлетать.

Второе условие равновесия (равновесие моментов) определяет, будет ли картина висеть ровно или будет вращаться (наклоняться). Момент силы — это вращающий эффект силы. Чтобы тело не вращалось, сумма моментов всех сил должна быть равна нулю.

Удобно выбрать ось вращения, проходящую через точку подвеса (гвоздь). Сила реакции опоры $\vec{N}$ приложена в этой точке, поэтому ее плечо равно нулю, и момент, создаваемый этой силой, также равен нулю. Следовательно, для равновесия необходимо, чтобы и момент силы тяжести $\vec{F_g}$ относительно этой же оси был равен нулю.

Момент силы равен нулю в двух случаях: либо когда сама сила равна нулю (что не наш случай), либо когда плечо силы равно нулю. Плечо силы — это кратчайшее расстояние от оси вращения до линии действия силы. Плечо силы тяжести будет равно нулю только тогда, когда линия действия этой силы проходит через ось вращения. Поскольку сила тяжести всегда действует по вертикали вниз из центра масс, это означает, что центр масс картины должен находиться на одной вертикальной линии с точкой подвеса (гвоздем).

Если это условие выполнено, сила тяжести не будет создавать вращающий момент, и картина будет висеть ровно, не наклоняясь. Для того чтобы это равновесие было устойчивым (т. е. чтобы картина возвращалась в ровное положение после небольшого случайного отклонения), центр масс должен находиться ниже точки подвеса.

Таким образом, чтобы картина висела ровно на одном гвозде, ее нужно повесить так, чтобы гвоздь находился на вертикальной прямой, проходящей через центр масс картины.

Ответ:

Картина будет висеть ровно на одном гвозде при условии, что ее центр масс находится на одной вертикальной линии с точкой подвеса (гвоздем). Для обеспечения устойчивого равновесия центр масс должен располагаться ниже точки подвеса.

1. Однородный стержень, на одном конце которого подвешен груз весом 120 Н, находится в равновесии в горизонтальном положении, если его подпереть на расстоянии $\frac{1}{5}$ длины стержня от груза. Чему равен вес стержня?

Дано:

Вес груза $P_1 = 120 \text{ Н}$

Расстояние от груза до точки опоры $l_1 = \frac{1}{5}L$, где $L$ - длина стержня.

Все величины представлены в системе СИ.

Найти:

Вес стержня $P_2$.

Решение:

Стержень находится в равновесии, это означает, что сумма моментов сил, действующих на него относительно точки опоры, равна нулю. В данном случае на стержень действуют две силы, создающие вращающий момент: сила тяжести груза $P_1$ и сила тяжести самого стержня $P_2$.

Поскольку стержень однородный, его вес $P_2$ приложен к его центру, то есть на расстоянии $\frac{L}{2}$ от любого из концов.

Момент силы определяется как произведение силы на ее плечо (кратчайшее расстояние от точки опоры до линии действия силы).

Плечо силы $P_1$ равно $d_1 = l_1 = \frac{1}{5}L$.

Плечо силы $P_2$ (веса стержня) равно расстоянию от центра стержня до точки опоры: $d_2 = \frac{L}{2} - l_1 = \frac{L}{2} - \frac{1}{5}L$.

Условие равновесия рычага (правило моментов): моменты сил, вращающие рычаг в противоположных направлениях, равны. $M_1 = M_2$

$P_1 \cdot d_1 = P_2 \cdot d_2$

Подставим выражения для плеч в уравнение:

$P_1 \cdot \frac{1}{5}L = P_2 \cdot (\frac{L}{2} - \frac{1}{5}L)$

Вычислим разность в скобках:

$\frac{L}{2} - \frac{1}{5}L = \frac{5L - 2L}{10} = \frac{3L}{10}$

Теперь подставим это в уравнение равновесия:

$120 \cdot \frac{1}{5}L = P_2 \cdot \frac{3L}{10}$

Длину стержня $L$ можно сократить в обеих частях уравнения:

$120 \cdot \frac{1}{5} = P_2 \cdot \frac{3}{10}$

$24 = P_2 \cdot \frac{3}{10}$

Выразим вес стержня $P_2$:

$P_2 = \frac{24 \cdot 10}{3} = 8 \cdot 10 = 80 \text{ Н}$

Ответ: вес стержня равен 80 Н.

2. Две девочки массами m₁ = 30 кг и m₂ = 35 кг сидят на концах доски длиной L = 6 м и массой М = 25 кг. Доска находится в равновесии. Определите положение её точки опоры. Чему равна сила реакции опоры, действующая на доску?

Дано:

$m_1 = 30$ кг

$m_2 = 35$ кг

$M = 25$ кг

$L = 6$ м

Все данные представлены в системе СИ.

Найти:

$x_p$ — положение точки опоры

$N$ — сила реакции опоры

Решение:

Поскольку доска с девочками находится в равновесии, это означает, что выполняются два условия равновесия твердого тела: сумма всех сил, действующих на систему, равна нулю, и сумма моментов всех сил относительно любой точки также равна нулю.

Определите положение её точки опоры.

Чтобы система находилась в равновесии, точка опоры должна совпадать с центром масс системы «доска + две девочки». Выберем систему координат, в которой начало ($x=0$) находится на левом конце доски, где сидит первая девочка ($m_1$). Тогда координата первой девочки $x_1 = 0$, координата второй девочки $x_2 = L = 6$ м, а координата центра масс однородной доски $x_M = L/2 = 3$ м.

Координата центра масс системы $x_p$ (искомое положение точки опоры) вычисляется по формуле:

$x_p = \frac{m_1 x_1 + m_2 x_2 + M x_M}{m_1 + m_2 + M}$

Подставим числовые значения:

$x_p = \frac{30 \cdot 0 + 35 \cdot 6 + 25 \cdot 3}{30 + 35 + 25}$

$x_p = \frac{0 + 210 + 75}{90} = \frac{285}{90} = \frac{19}{6}$ м

$x_p \approx 3,17$ м

Следовательно, точка опоры должна быть расположена на расстоянии $\frac{19}{6}$ м от девочки массой 30 кг.

Ответ: Точка опоры должна быть расположена на расстоянии $\frac{19}{6}$ м (приблизительно 3,17 м) от девочки массой 30 кг.

Чему равна сила реакции опоры, действующая на доску?

Согласно первому условию равновесия, сумма проекций всех сил на вертикальную ось равна нулю. На систему действуют силы тяжести девочек ($P_1=m_1g$), доски ($P_M=Mg$) и второй девочки ($P_2=m_2g$), направленные вниз, и сила реакции опоры $N$, направленная вверх.

$N - P_1 - P_2 - P_M = 0$

Отсюда выражаем силу реакции опоры $N$:

$N = P_1 + P_2 + P_M = (m_1 + m_2 + M)g$

Примем значение ускорения свободного падения $g \approx 9,8$ м/с².

$N = (30 + 35 + 25) \cdot 9,8 = 90 \cdot 9,8 = 882$ Н.

Ответ: Сила реакции опоры, действующая на доску, равна 882 Н.