Страница 111 - гдз по физике 9 класс учебник Пёрышкин, Гутник

3. На столе перпендикулярно его краю лежит однородная линейка длиной 75 см. Часть линейки свешивается со стола. К этому концу линейки подвешен груз, масса которого в 2 раза больше массы линейки. Найдите длину свешивающейся части, если вся система находится в равновесии.

Дано:

Длина линейки, $L = 75$ см

Масса груза, $m_{г} = 2m_{л}$, где $m_{л}$ - масса линейки.

$L = 0.75$ м

Найти:

Длину свешивающейся части, $x$

Решение:

Система находится в равновесии. Для решения задачи воспользуемся правилом моментов. Согласно этому правилу, для тела, находящегося в равновесии, сумма моментов сил, вращающих его по часовой стрелке, равна сумме моментов сил, вращающих его против часовой стрелки. В качестве оси вращения выберем край стола, который является точкой опоры.

Опрокидывающий момент (по часовой стрелке) создает сила тяжести подвешенного груза $F_г = m_г g$. Плечо этой силы равно длине свешивающейся части линейки $x$.

$M_1 = F_г \cdot x = (2m_л g) \cdot x$

Удерживающий момент (против часовой стрелки) создает сила тяжести самой линейки $F_л = m_л g$. Поскольку линейка однородная, ее центр масс находится в ее геометрическом центре, то есть на расстоянии $L/2$ от любого из концов. Плечо этой силы — это расстояние от оси вращения (края стола) до центра масс линейки. Это расстояние равно $L/2 - x$.

$M_2 = F_л \cdot (L/2 - x) = m_л g (L/2 - x)$

Запишем условие равновесия моментов $M_1 = M_2$:

$2m_л g x = m_л g (L/2 - x)$

Сократим обе части уравнения на общий множитель $m_л g$ (так как масса линейки и ускорение свободного падения не равны нулю):

$2x = L/2 - x$

Перенесем слагаемое с $x$ в левую часть уравнения:

$2x + x = L/2$

$3x = L/2$

Отсюда находим $x$:

$x = \frac{L}{6}$

Подставим числовое значение длины линейки $L = 75$ см:

$x = \frac{75 \text{ см}}{6} = 12.5 \text{ см}$

Ответ: длина свешивающейся части линейки равна 12.5 см.

4. Тонкий однородный стержень АВ шарнирно закреплён в точке А. В точке В на стержень действует горизонтальная сила F, в результате чего стержень находится в равновесии (рис. 73). Определите эту силу, если масса стержня m = 1 кг, угол его наклона к горизонту α = 45°.

Дано:

$m = 1 \text{ кг}$

$α = 45°$

$g \approx 9.8 \text{ Н/кг}$

Найти:

$F$ — ?

Решение:

Стержень находится в равновесии, следовательно, выполняется условие равновесия для вращательного движения: алгебраическая сумма моментов всех сил, действующих на тело, относительно любой оси равна нулю. В качестве оси вращения выберем точку А, в которой стержень шарнирно закреплён. Момент силы реакции опоры в точке А относительно этой оси равен нулю, так как плечо этой силы равно нулю.

Запишем уравнение моментов сил относительно точки А. Пусть $L$ — длина стержня.

На стержень действуют две силы, создающие вращающий момент относительно точки А:

1. Сила тяжести $mg$, приложенная к центру масс стержня. Поскольку стержень однородный, его центр масс находится посередине, на расстоянии $L/2$ от точки А. Эта сила направлена вертикально вниз и стремится повернуть стержень по часовой стрелке. Её момент $M_1$ равен произведению модуля силы на её плечо. Плечо силы тяжести — это горизонтальное расстояние от точки А до линии действия силы: $d_1 = (L/2) \cdot \cos(α)$.

$M_1 = mg \cdot d_1 = mg \cdot \frac{L}{2} \cos(α)$

2. Горизонтальная сила $F$, приложенная к точке B на расстоянии $L$ от точки А. Эта сила стремится повернуть стержень против часовой стрелки. Её момент $M_2$ равен произведению модуля силы на её плечо. Плечо силы $F$ — это вертикальное расстояние от точки А до линии действия силы: $d_2 = L \cdot \sin(α)$.

$M_2 = F \cdot d_2 = F \cdot L \sin(α)$

Согласно условию равновесия, сумма моментов сил, вращающих стержень по часовой стрелке, равна сумме моментов сил, вращающих его против часовой стрелки:

$M_2 = M_1$

$F \cdot L \sin(α) = mg \cdot \frac{L}{2} \cos(α)$

Сократим длину стержня $L$ в обеих частях уравнения и выразим силу $F$:

$F \sin(α) = \frac{mg}{2} \cos(α)$

$F = \frac{mg \cos(α)}{2 \sin(α)} = \frac{mg}{2 \tan(α)}$

Подставим числовые значения:

$F = \frac{1 \text{ кг} \cdot 9.8 \text{ Н/кг}}{2 \cdot \tan(45°)}$

Поскольку $\tan(45°) = 1$, получаем:

$F = \frac{9.8 \text{ Н}}{2 \cdot 1} = 4.9 \text{ Н}$

Ответ: $F = 4.9 \text{ Н}$.

5. Найдите построением положение центра тяжести однородной пластинки, имеющей форму, показанную на рисунке 74. Толщина пластинки везде одна и та же.

Дано:

Однородная пластинка L-образной формы. Толщина пластинки постоянна.

Найти:

Положение центра тяжести пластинки.

Решение:

Поскольку пластинка однородная и имеет постоянную толщину, её центр тяжести совпадает с геометрическим центром (центроидом) её фигуры. Для нахождения центра тяжести сложной фигуры можно использовать метод разбиения на простые фигуры, положение центров тяжести которых известно. Для однородного прямоугольника центр тяжести находится в точке пересечения его диагоналей.

Для нахождения центра тяжести данной L-образной пластинки выполним следующие построения:

1. Первое разбиение. Разобьём мысленно пластинку на два прямоугольника. Например, на большой вертикальный прямоугольник (назовем его П1) и малый горизонтальный прямоугольник (П2), примыкающий к нему сбоку.

2. Найдём центр тяжести каждого из этих прямоугольников. Центр тяжести Ц1 прямоугольника П1 находится на пересечении его диагоналей. Аналогично, центр тяжести Ц2 прямоугольника П2 находится на пересечении его диагоналей.

3. Соединим точки Ц1 и Ц2 прямой линией. Центр тяжести всей L-образной пластинки должен лежать на этой линии.

4. Второе разбиение. Теперь разобьём исходную пластинку на два прямоугольника другим способом. Например, на большой горизонтальный прямоугольник (П3) и малый вертикальный прямоугольник (П4), расположенный над ним.

5. Аналогично первому случаю, найдём центры тяжести Ц3 и Ц4 этих новых прямоугольников, проведя их диагонали.

6. Соединим точки Ц3 и Ц4 второй прямой линией. Центр тяжести всей пластинки также должен лежать и на этой второй линии.

7. Определение положения центра тяжести. Искомый центр тяжести всей L-образной пластинки (Ц) является точкой, которая принадлежит обеим построенным линиям. Следовательно, он находится в точке их пересечения.

На рисунке выше показан этот метод. Красными линиями показано первое разбиение и центры Ц1, Ц2. Синими линиями — второе разбиение и центры Ц3, Ц4. Точка Ц, где пересекаются пунктирные линии, соединяющие центры тяжести пар, и есть искомый центр тяжести всей фигуры.

Ответ: Центр тяжести однородной L-образной пластинки находится в точке пересечения двух прямых. Первая прямая соединяет центры тяжести двух прямоугольников, полученных при первом способе разбиения фигуры, а вторая прямая соединяет центры тяжести двух прямоугольников, полученных при втором, отличном от первого, способе разбиения.

6. Две металлические пластинки — алюминиевая и медная — скреплены так, как показано на рисунке 75. Размеры пластинок одинаковые. Определите положение центра тяжести конструкции.

Дано:

Конструкция из двух одинаковых по размеру пластин: алюминиевой и медной, соединенных встык.

Плотность алюминия: $\rho_{Al} = 2700$ кг/м$^3$.

Плотность меди: $\rho_{Cu} = 8900$ кг/м$^3$.

Обозначим длину каждой пластины как $L$.

Найти:

Положение центра тяжести конструкции $x_{ц.т.}$.

Решение:

Положение центра тяжести (центра масс в однородном поле тяжести) системы, состоящей из нескольких тел, определяется по формуле:

$x_{ц.т.} = \frac{\sum m_i x_i}{\sum m_i}$

Для нашей системы из двух пластин формула примет вид:

$x_{ц.т.} = \frac{m_1 x_1 + m_2 x_2}{m_1 + m_2}$

где $m_1$ и $m_2$ — массы пластин, а $x_1$ и $x_2$ — координаты их центров тяжести.

Для определения координат введем одномерную систему отсчета. Направим ось $Ox$ вдоль длинной стороны конструкции так, чтобы ее начало ($x=0$) совпадало со свободным (левым) краем алюминиевой пластины. Поскольку размеры пластин одинаковы, обозначим длину каждой из них через $L$. Тогда алюминиевая пластина будет занимать промежуток $[0, L]$, а медная — промежуток $[L, 2L]$.

Так как пластины однородны и имеют правильную прямоугольную форму, их центры тяжести находятся в их геометрических центрах.

Координата центра тяжести алюминиевой пластины ($x_1$):

$x_1 = \frac{L}{2}$

Координата центра тяжести медной пластины ($x_2$):

$x_2 = L + \frac{L}{2} = \frac{3L}{2}$

Массы пластин выразим через их плотности и объемы. Пусть площадь поперечного сечения пластин равна $S$. Тогда объем каждой пластины равен $V = S \cdot L$.

Масса алюминиевой пластины ($m_1$):

$m_1 = \rho_{Al} V = \rho_{Al} S L$

Масса медной пластины ($m_2$):

$m_2 = \rho_{Cu} V = \rho_{Cu} S L$

Подставим полученные выражения в формулу для координаты центра тяжести:

$x_{ц.т.} = \frac{(\rho_{Al} S L) \cdot \frac{L}{2} + (\rho_{Cu} S L) \cdot \frac{3L}{2}}{\rho_{Al} S L + \rho_{Cu} S L}$

В числителе и знаменателе можно сократить общий множитель $S \cdot L$:

$x_{ц.т.} = \frac{\rho_{Al} \frac{L}{2} + \rho_{Cu} \frac{3L}{2}}{\rho_{Al} + \rho_{Cu}} = \frac{L (\rho_{Al} + 3\rho_{Cu})}{2 (\rho_{Al} + \rho_{Cu})}$

Теперь подставим числовые значения плотностей алюминия и меди:

$x_{ц.т.} = \frac{L (2700 + 3 \cdot 8900)}{2 (2700 + 8900)} = \frac{L (2700 + 26700)}{2 \cdot 11600} = \frac{L \cdot 29400}{23200}$

$x_{ц.т.} = L \cdot \frac{294}{232} = L \cdot \frac{147}{116} \approx 1.267 L$

Таким образом, центр тяжести всей конструкции находится на расстоянии примерно $1.27L$ от левого края алюминиевой пластины. Геометрический центр конструкции находится в точке стыка пластин ($x=L$). Так как медь плотнее алюминия, центр тяжести смещен в сторону медной пластины на расстояние:

$\Delta x = x_{ц.т.} - L \approx 1.27L - L = 0.27L$

Ответ:

Центр тяжести конструкции находится на ее продольной оси симметрии внутри медной пластины на расстоянии приблизительно $0.27L$ от места соединения пластин (где $L$ — длина одной пластины), или на расстоянии $1.27L$ от свободного края алюминиевой пластины.

1. Из картона вырежьте фигуру неправильной формы. Определите её центр тяжести, используя отвес (нить с грузом).

Для определения центра тяжести фигуры неправильной формы, вырезанной из картона, необходимо провести следующий эксперимент, основанный на свойствах равновесия тел.

Решение

Метод основан на фундаментальном принципе статики: когда тело свободно подвешено за одну точку, его центр тяжести всегда находится на вертикальной линии, проходящей через точку подвеса. Это происходит потому, что в положении равновесия момент силы тяжести относительно точки подвеса должен быть равен нулю, что возможно только тогда, когда сила тяжести направлена вдоль линии, соединяющей центр тяжести и точку подвеса. Найдя две такие линии (подвешивая тело за разные точки), мы можем определить их точку пересечения, которая и будет являться центром тяжести.

Необходимое оборудование:

• Лист плотного картона;
• Ножницы;
• Отвес (нить с небольшим грузом, например, гайкой или большой скрепкой);
• Булавка или игла;
• Карандаш или тонкий маркер;
• Опора для подвешивания (например, штатив, край стола или пробковая доска, в которую можно воткнуть булавку).

Порядок выполнения работы:

1. Вырежьте из листа картона плоскую фигуру произвольной (неправильной) формы.

2. Проделайте с помощью булавки или иглы небольшое отверстие у края фигуры (точка А). Убедитесь, что фигура может свободно вращаться вокруг этой точки, если ее подвесить.

3. Закрепите булавку на опоре и подвесьте на нее картонную фигуру за отверстие А.

4. На эту же булавку, поверх фигуры, подвесьте отвес.

5. Дождитесь, пока и фигура, и отвес полностью перестанут качаться и придут в состояние равновесия. Нить отвеса примет строго вертикальное положение.

6. Аккуратно, не смещая фигуру, отметьте на ней две точки вдоль нити отвеса (одну у точки подвеса, другую — у нижнего края). Снимите фигуру и с помощью линейки соедините эти точки прямой линией. Эта линия — первая прямая, на которой лежит центр тяжести.

7. Выберите вторую точку на краю фигуры (точка B), расположенную на значительном расстоянии от первой.

8. Повторите шаги 2–6 для точки B. В результате вы получите вторую прямую линию на картонной фигуре.

9. Точка пересечения двух проведенных линий и есть искомый центр тяжести фигуры.

10. (Проверка) Для повышения точности и проверки результата можно выбрать третью точку (С) и повторить процедуру. Третья линия должна пройти через ту же точку пересечения. Если это так, центр тяжести найден верно.

Ответ: Центр тяжести плоской фигуры неправильной формы — это точка пересечения двух или более прямых, которые совпадают с направлением нити отвеса, если последовательно подвешивать фигуру за разные точки на её контуре.

2. Вырежьте из картона кольцо толщиной 2 см. Подтвердите на опыте, что его центр тяжести находится на пересечении диаметров.

Это задание представляет собой описание физического эксперимента. Для его выполнения потребуются: лист плотного картона, циркуль, линейка, ножницы, игла или шило, нитка и небольшой груз (например, гайка) для изготовления отвеса.

Теоретическое обоснование

Центр тяжести — это точка приложения равнодействующей сил тяжести, действующих на все частицы тела. Для однородного тела, имеющего центр симметрии, центр тяжести совпадает с этим геометрическим центром. Кольцо является осесимметричной фигурой. Любой его диаметр является осью симметрии. Поскольку все диаметры пересекаются в одной точке — геометрическом центре кольца, — то именно в этой точке и должен находиться центр тяжести. Важно отметить, что центр тяжести кольца находится в пространстве, не занятом веществом, то есть в его центральном отверстии.

Проведение опыта

Чтобы экспериментально доказать, что центр тяжести кольца находится на пересечении его диаметров, необходимо последовательно выполнить следующие действия.

1. Изготовление кольца

1. На листе картона с помощью циркуля начертите две концентрические окружности (с общим центром).
2. Расстояние между окружностями должно составлять 2 см. Например, можно выбрать радиус внешней окружности $R = 7$ см, а внутренней $r = 5$ см. Тогда ширина кольца будет равна $R - r = 2$ см.
3. Аккуратно вырежьте кольцо по контурам внешней и внутренней окружностей.

2. Определение центра тяжести методом подвешивания

1. Проделайте в кольце небольшое отверстие (точка А) у самого края.
2. Подвесьте кольцо за это отверстие на иглу или гвоздь так, чтобы оно могло свободно вращаться в вертикальной плоскости.
3. К этой же точке подвеса прикрепите отвес (нитку с грузом).
4. Дождитесь, пока кольцо и отвес придут в состояние покоя. В этом положении центр тяжести кольца будет находиться точно под точкой подвеса на вертикальной линии, указанной отвесом.
5. Аккуратно отметьте на кольце линию, совпадающую с нитью отвеса.
6. Проделайте второе отверстие (точка В) в другой части кольца (например, на расстоянии, равном примерно четверти длины окружности от первого).
7. Повторите шаги 2-5 для новой точки подвеса. Вы получите вторую линию на кольце.
8. Точка, где пересекаются две начерченные линии, и есть экспериментально найденный центр тяжести кольца. Для повышения точности можно повторить опыт с третьей точкой подвеса.

3. Проверка и вывод

1. С помощью линейки проведите на кольце два любых диаметра. Их точка пересечения является геометрическим центром кольца.
2. Сравните положение найденной в эксперименте точки пересечения линий от отвеса с точкой пересечения диаметров.

Вы обнаружите, что эти две точки совпадают. Это доказывает, что центр тяжести кольца находится на пересечении его диаметров.

Ответ: Для экспериментального подтверждения гипотезы нужно изготовить картонное кольцо толщиной 2 см. Затем, используя метод подвешивания, найти его центр тяжести. Кольцо подвешивается последовательно за две (или более) разные точки на его окружности. Каждый раз отмечается вертикальная линия, задаваемая отвесом, подвешенным из той же точки. Точка пересечения этих линий является искомым центром тяжести. При сравнении положения этой точки с геометрическим центром кольца (точкой пересечения диаметров) обнаруживается их полное совпадение, что и является экспериментальным подтверждением того, что центр тяжести кольца находится на пересечении его диаметров.