Номер 6, страница 111 - гдз по физике 9 класс учебник Пёрышкин, Гутник

Упражнение 22. § 22. Условия равновесия тел. Центр тяжести тела. Глава 1. Законы движения и взаимодействия тел - номер 6, страница 111.

6. Две металлические пластинки — алюминиевая и медная — скреплены так, как показано на рисунке 75. Размеры пластинок одинаковые. Определите положение центра тяжести конструкции.

Дано:

Конструкция из двух одинаковых по размеру пластин: алюминиевой и медной, соединенных встык.

Плотность алюминия: $\rho_{Al} = 2700$ кг/м$^3$.

Плотность меди: $\rho_{Cu} = 8900$ кг/м$^3$.

Обозначим длину каждой пластины как $L$.

Найти:

Положение центра тяжести конструкции $x_{ц.т.}$.

Решение:

Положение центра тяжести (центра масс в однородном поле тяжести) системы, состоящей из нескольких тел, определяется по формуле:

$x_{ц.т.} = \frac{\sum m_i x_i}{\sum m_i}$

Для нашей системы из двух пластин формула примет вид:

$x_{ц.т.} = \frac{m_1 x_1 + m_2 x_2}{m_1 + m_2}$

где $m_1$ и $m_2$ — массы пластин, а $x_1$ и $x_2$ — координаты их центров тяжести.

Для определения координат введем одномерную систему отсчета. Направим ось $Ox$ вдоль длинной стороны конструкции так, чтобы ее начало ($x=0$) совпадало со свободным (левым) краем алюминиевой пластины. Поскольку размеры пластин одинаковы, обозначим длину каждой из них через $L$. Тогда алюминиевая пластина будет занимать промежуток $[0, L]$, а медная — промежуток $[L, 2L]$.

Так как пластины однородны и имеют правильную прямоугольную форму, их центры тяжести находятся в их геометрических центрах.

Координата центра тяжести алюминиевой пластины ($x_1$):

$x_1 = \frac{L}{2}$

Координата центра тяжести медной пластины ($x_2$):

$x_2 = L + \frac{L}{2} = \frac{3L}{2}$

Массы пластин выразим через их плотности и объемы. Пусть площадь поперечного сечения пластин равна $S$. Тогда объем каждой пластины равен $V = S \cdot L$.

Масса алюминиевой пластины ($m_1$):

$m_1 = \rho_{Al} V = \rho_{Al} S L$

Масса медной пластины ($m_2$):

$m_2 = \rho_{Cu} V = \rho_{Cu} S L$

Подставим полученные выражения в формулу для координаты центра тяжести:

$x_{ц.т.} = \frac{(\rho_{Al} S L) \cdot \frac{L}{2} + (\rho_{Cu} S L) \cdot \frac{3L}{2}}{\rho_{Al} S L + \rho_{Cu} S L}$

В числителе и знаменателе можно сократить общий множитель $S \cdot L$:

$x_{ц.т.} = \frac{\rho_{Al} \frac{L}{2} + \rho_{Cu} \frac{3L}{2}}{\rho_{Al} + \rho_{Cu}} = \frac{L (\rho_{Al} + 3\rho_{Cu})}{2 (\rho_{Al} + \rho_{Cu})}$

Теперь подставим числовые значения плотностей алюминия и меди:

$x_{ц.т.} = \frac{L (2700 + 3 \cdot 8900)}{2 (2700 + 8900)} = \frac{L (2700 + 26700)}{2 \cdot 11600} = \frac{L \cdot 29400}{23200}$

$x_{ц.т.} = L \cdot \frac{294}{232} = L \cdot \frac{147}{116} \approx 1.267 L$

Таким образом, центр тяжести всей конструкции находится на расстоянии примерно $1.27L$ от левого края алюминиевой пластины. Геометрический центр конструкции находится в точке стыка пластин ($x=L$). Так как медь плотнее алюминия, центр тяжести смещен в сторону медной пластины на расстояние:

$\Delta x = x_{ц.т.} - L \approx 1.27L - L = 0.27L$

Ответ:

Центр тяжести конструкции находится на ее продольной оси симметрии внутри медной пластины на расстоянии приблизительно $0.27L$ от места соединения пластин (где $L$ — длина одной пластины), или на расстоянии $1.27L$ от свободного края алюминиевой пластины.