Номер 4, страница 111 - гдз по физике 9 класс учебник Пёрышкин, Гутник

Упражнение 22. § 22. Условия равновесия тел. Центр тяжести тела. Глава 1. Законы движения и взаимодействия тел - номер 4, страница 111.

4. Тонкий однородный стержень АВ шарнирно закреплён в точке А. В точке В на стержень действует горизонтальная сила F, в результате чего стержень находится в равновесии (рис. 73). Определите эту силу, если масса стержня m = 1 кг, угол его наклона к горизонту α = 45°.

Дано:

$m = 1 \text{ кг}$

$α = 45°$

$g \approx 9.8 \text{ Н/кг}$

Найти:

$F$ — ?

Решение:

Стержень находится в равновесии, следовательно, выполняется условие равновесия для вращательного движения: алгебраическая сумма моментов всех сил, действующих на тело, относительно любой оси равна нулю. В качестве оси вращения выберем точку А, в которой стержень шарнирно закреплён. Момент силы реакции опоры в точке А относительно этой оси равен нулю, так как плечо этой силы равно нулю.

Запишем уравнение моментов сил относительно точки А. Пусть $L$ — длина стержня.

На стержень действуют две силы, создающие вращающий момент относительно точки А:

1. Сила тяжести $mg$, приложенная к центру масс стержня. Поскольку стержень однородный, его центр масс находится посередине, на расстоянии $L/2$ от точки А. Эта сила направлена вертикально вниз и стремится повернуть стержень по часовой стрелке. Её момент $M_1$ равен произведению модуля силы на её плечо. Плечо силы тяжести — это горизонтальное расстояние от точки А до линии действия силы: $d_1 = (L/2) \cdot \cos(α)$.

$M_1 = mg \cdot d_1 = mg \cdot \frac{L}{2} \cos(α)$

2. Горизонтальная сила $F$, приложенная к точке B на расстоянии $L$ от точки А. Эта сила стремится повернуть стержень против часовой стрелки. Её момент $M_2$ равен произведению модуля силы на её плечо. Плечо силы $F$ — это вертикальное расстояние от точки А до линии действия силы: $d_2 = L \cdot \sin(α)$.

$M_2 = F \cdot d_2 = F \cdot L \sin(α)$

Согласно условию равновесия, сумма моментов сил, вращающих стержень по часовой стрелке, равна сумме моментов сил, вращающих его против часовой стрелки:

$M_2 = M_1$

$F \cdot L \sin(α) = mg \cdot \frac{L}{2} \cos(α)$

Сократим длину стержня $L$ в обеих частях уравнения и выразим силу $F$:

$F \sin(α) = \frac{mg}{2} \cos(α)$

$F = \frac{mg \cos(α)}{2 \sin(α)} = \frac{mg}{2 \tan(α)}$

Подставим числовые значения:

$F = \frac{1 \text{ кг} \cdot 9.8 \text{ Н/кг}}{2 \cdot \tan(45°)}$

Поскольку $\tan(45°) = 1$, получаем:

$F = \frac{9.8 \text{ Н}}{2 \cdot 1} = 4.9 \text{ Н}$

Ответ: $F = 4.9 \text{ Н}$.