Номер 2, страница 129 - гдз по физике 9 класс учебник Закирова, Аширов

2. От каких величин зависит скорость реактивного движения?

1. Какое движение называют реактивным?

Реактивным движением называют движение тела, возникающее в результате отделения от него некоторой его части с определённой скоростью относительно тела. Этот принцип движения основан на фундаментальном физическом законе — законе сохранения импульса.

Рассмотрим замкнутую систему, состоящую из тела и отделяемой от него части (например, ракета и продукты сгорания топлива). Если до начала взаимодействия система находилась в покое, её суммарный импульс был равен нулю. Согласно закону сохранения импульса, после того как часть массы $m_г$ будет отброшена со скоростью $v_г$, оставшаяся часть тела массой $M_р$ приобретёт скорость $V_р$ таким образом, чтобы суммарный импульс системы по-прежнему оставался равным нулю. В векторной форме это записывается как: $M_р \cdot \vec{V_р} + m_г \cdot \vec{v_г} = 0$. Из этого уравнения следует, что $M_р \cdot \vec{V_р} = -m_г \cdot \vec{v_г}$. Знак «минус» указывает на то, что векторы скорости тела и отброшенной массы направлены в противоположные стороны. Тело движется в сторону, противоположную направлению выброса.

Примеры реактивного движения встречаются как в природе, так и в технике. Кальмары, осьминоги и медузы используют реактивный принцип для передвижения, с силой выталкивая воду. В технике этот принцип является основой для движения ракет-носителей, космических аппаратов и реактивных самолётов.

Ответ: Реактивное движение — это движение, при котором тело получает ускорение и движется вперёд за счёт отбрасывания части своей массы (например, струи газа или жидкости) в противоположном направлении. Это движение подчиняется закону сохранения импульса.

2. От каких величин зависит скорость реактивного движения?

Скорость, которую может развить тело (например, ракета) при реактивном движении в отсутствие внешних сил, зависит от двух ключевых параметров. Это можно показать, выведя формулу Циолковского, которая является математической основой ракетодинамики.

Рассмотрим ракету, которая в момент времени $t$ имеет массу $m$ и скорость $v$. За бесконечно малый промежуток времени $dt$ ракета выбрасывает продукты сгорания массой $dm$ (поскольку масса ракеты уменьшается, $dm$ — отрицательная величина) со скоростью $u$ относительно ракеты. Скорость ракеты при этом увеличивается на $dv$.

Применим закон сохранения импульса для системы «ракета + выброшенные газы». Импульс системы до момента $t$ равен $p_1 = m \cdot v$. Импульс системы в момент $t+dt$ равен сумме импульса ракеты массой $(m+dm)$ и скоростью $(v+dv)$ и импульса газов массой $(-dm)$ и скоростью $(v-u)$: $p_2 = (m+dm)(v+dv) + (-dm)(v-u)$.

Так как система замкнута, $p_1 = p_2$:

$m v = (m+dm)(v+dv) - dm(v-u)$

Раскроем скобки:

$m v = m v + m dv + v dm + dv \cdot dm - v dm + u dm$

После сокращения и пренебрежения членом второго порядка малости $dv \cdot dm$ (произведение двух бесконечно малых величин), получаем:

$0 = m dv + u dm$ или $dv = -u \frac{dm}{m}$

Чтобы найти конечную скорость ракеты $v$, проинтегрируем это уравнение. Пусть начальная масса ракеты (с топливом) равна $m_0$, конечная (без топлива) — $m_f$, а начальная скорость равна нулю.

$\int_{0}^{v} dv = -u \int_{m_0}^{m_f} \frac{dm}{m}$

$v = -u [\ln(m_f) - \ln(m_0)] = -u \ln(\frac{m_f}{m_0}) = u \ln(\frac{m_0}{m_f})$

Это и есть формула Циолковского. Обозначив скорость истечения газов $u$ как $v_e$, получим её в стандартном виде (она показывает приращение скорости $\Delta v$):

$\Delta v = v_e \ln \frac{m_0}{m_f}$

Из этой формулы видно, что скорость реактивного движения зависит от двух основных величин. Во-первых, это скорость истечения газов ($v_e$): чем выше скорость, с которой продукты сгорания покидают сопло, тем большее приращение скорости получит ракета. Во-вторых, это отношение начальной массы ракеты к её конечной массе ($\frac{m_0}{m_f}$), называемое числом Циолковского: чем больше топлива несёт ракета по отношению к своей «сухой» массе, тем до большей скорости она сможет разогнаться.

Ответ: Скорость реактивного движения зависит от скорости истечения газов и от отношения начальной массы тела к его конечной массе.