Номер 2, страница 129 - гдз по физике 9 класс учебник Закирова, Аширов

2. С какой скоростью взлетит модель ракеты, для которой соотношение масс ракеты и топлива равно 1:6? Скорость истечения газов в двигателе достигает 8 м/с. На какую высоту поднимется ракета?

Дано:

Отношение массы пустой ракеты к массе топлива: $\frac{m_р}{m_т} = \frac{1}{6}$

Скорость истечения газов: $u = 8 \text{ м/с}$

Все данные представлены в системе СИ.

Найти:

$v_р$ — скорость ракеты после сгорания топлива?

$h$ — максимальная высота подъема?

Решение:

С какой скоростью взлетит модель ракеты

Скорость, которую ракета приобретет после полного сгорания топлива, можно найти с помощью формулы Циолковского, которая является следствием закона сохранения импульса для тел с переменной массой. Пренебрежем силой тяжести и сопротивлением воздуха во время работы двигателя.

$v_р = u \cdot \ln\left(\frac{M_0}{M_к}\right)$

где $u$ — скорость истечения газов, $M_0$ — начальная масса ракеты (корпус и топливо), $M_к$ — конечная масса ракеты (только корпус).

Из условия задачи, масса топлива $m_т$ в 6 раз больше массы пустого корпуса ракеты $m_р$. Пусть масса корпуса $m_р = m$, тогда масса топлива $m_т = 6m$.

Конечная масса ракеты (после сгорания топлива) равна массе корпуса:

$M_к = m_р = m$

Начальная масса ракеты равна сумме масс корпуса и топлива:

$M_0 = m_р + m_т = m + 6m = 7m$

Найдем отношение начальной массы к конечной:

$\frac{M_0}{M_к} = \frac{7m}{m} = 7$

Подставим полученное отношение и заданную скорость истечения газов в формулу Циолковского:

$v_р = 8 \cdot \ln(7) \approx 8 \cdot 1.946 \approx 15.57 \text{ м/с}$

Ответ: модель ракеты взлетит со скоростью примерно 15.57 м/с.

На какую высоту поднимется ракета

После того, как все топливо сгорит, ракета будет обладать скоростью $v_р \approx 15.57 \text{ м/с}$ и продолжит движение вверх по инерции. Будем считать, что ракета набрала эту скорость на пренебрежимо малой высоте. Ее дальнейший полет — это движение тела, брошенного вертикально вверх, под действием силы тяжести (сопротивлением воздуха пренебрегаем).

Максимальную высоту подъема $h$ можно найти из закона сохранения механической энергии: кинетическая энергия ракеты в момент окончания работы двигателя перейдет в потенциальную энергию на максимальной высоте.

$\frac{1}{2}M_к v_р^2 = M_к g h$

где $g$ — ускорение свободного падения (примем $g \approx 9.8 \text{ м/с}^2$).

Масса $M_к$ сокращается, и мы можем выразить высоту $h$:

$h = \frac{v_р^2}{2g}$

Подставим числовые значения:

$h = \frac{(15.57 \text{ м/с})^2}{2 \cdot 9.8 \text{ м/с}^2} = \frac{242.42 \text{ м}^2/\text{с}^2}{19.6 \text{ м/с}^2} \approx 12.37 \text{ м}$

Ответ: ракета поднимется на высоту примерно 12.37 м.