Номер 2, страница 129 - гдз по физике 9 класс учебник Закирова, Аширов

2. С какой скоростью истекал газ при запуске модели космического корабля массой 200 г, если максимальная высота его подъема составила 12,8 м? При запуске модели было использовано 0,5 кг горючего, сопротивлением воздуха пренебречь.

Дано:

Масса модели корабля, $m_к = 200 \text{ г}$

Максимальная высота подъема, $h = 12,8 \text{ м}$

Масса горючего, $m_г = 0,5 \text{ кг}$

Ускорение свободного падения, $g \approx 10 \text{ м/с}^2$ (принимаем это значение для упрощения расчетов, т.к. числа в задаче подобраны под него)

Перевод в систему СИ:

$m_к = 200 \text{ г} = 0,2 \text{ кг}$

Найти:

Скорость истечения газа, $u$

Решение:

Задачу можно разделить на два этапа. Первый этап — подъем модели после сгорания топлива. Второй — сам процесс запуска (реактивное движение).

1. Найдем начальную скорость $v_0$, которую приобрела модель корабля сразу после запуска. Поскольку сопротивлением воздуха пренебрегаем, после набора начальной скорости модель движется только под действием силы тяжести. В этом случае выполняется закон сохранения механической энергии. Кинетическая энергия в начале подъема переходит в потенциальную энергию на максимальной высоте:

$\frac{m_к v_0^2}{2} = m_к g h$

Отсюда можем выразить начальную скорость модели $v_0$:

$v_0^2 = 2 g h$

$v_0 = \sqrt{2 g h}$

Подставим числовые значения:

$v_0 = \sqrt{2 \cdot 10 \text{ м/с}^2 \cdot 12,8 \text{ м}} = \sqrt{256} \text{ м/с} = 16 \text{ м/с}$

2. Теперь рассмотрим сам момент запуска. Система "модель + горючее" является замкнутой, так как за короткое время импульса внешние силы (сила тяжести) значительно меньше внутренних. Для этой системы выполняется закон сохранения импульса. До запуска суммарный импульс системы был равен нулю. После запуска импульс модели направлен вверх, а импульс истекающих газов — вниз. Суммарный импульс также должен остаться равным нулю.

$\vec{p}_{общ} = 0$

$\vec{p}_{общ} = m_к \vec{v_0} + m_г \vec{v}_г = 0$

где $\vec{v}_г$ — скорость газов относительно Земли.

Скорость истечения газа $u$ — это скорость газа относительно корабля. Связь скоростей: $\vec{v}_г = \vec{v_0} + \vec{u}$.

Подставим это в закон сохранения импульса:

$m_к \vec{v_0} + m_г (\vec{v_0} + \vec{u}) = 0$

$(m_к + m_г) \vec{v_0} = -m_г \vec{u}$

Спроецируем на вертикальную ось, направленную вверх. Скорость корабля $v_0$ будет положительной, а скорость истечения газа относительно корабля $u$ — отрицательной (газ летит вниз), поэтому ее проекция равна $-u$.

$(m_к + m_г) v_0 = -m_г (-u)$

$(m_к + m_г) v_0 = m_г u$

Отсюда выражаем искомую скорость истечения газа $u$:

$u = \frac{m_к + m_г}{m_г} v_0$

Подставим значения:

$u = \frac{0,2 \text{ кг} + 0,5 \text{ кг}}{0,5 \text{ кг}} \cdot 16 \text{ м/с} = \frac{0,7}{0,5} \cdot 16 \text{ м/с} = 1,4 \cdot 16 \text{ м/с} = 22,4 \text{ м/с}$

Ответ: скорость истечения газа составляла 22,4 м/с.