Номер 1, страница 139 - гдз по физике 9 класс учебник Закирова, Аширов

1. Тележка на американских горках начинает движение без начальной скорости в наивысшей точке на высоте 20 м над землей. Она резко опускается вниз до высоты 2 м и затем круто взмывает вверх до вершины следующей горы, которая расположена на высоте 15 м. Определите скорость тележки в желобе на высоте 2 м и на 15-метровой вершине. Потерями энергии пренебречь.

Дано:

Начальная высота, $h_1 = 20$ м

Начальная скорость, $v_1 = 0$ м/с

Высота в желобе, $h_2 = 2$ м

Высота второй вершины, $h_3 = 15$ м

Ускорение свободного падения, $g \approx 9,8$ м/с²

Все данные представлены в системе СИ.

Найти:

Скорость на высоте $h_2$, $v_2 - ?$

Скорость на высоте $h_3$, $v_3 - ?$

Решение:

Поскольку в задаче указано, что потерями энергии можно пренебречь, для решения используется закон сохранения полной механической энергии. Полная механическая энергия тележки $E$ в любой точке траектории равна сумме ее кинетической энергии $E_k$ и потенциальной энергии $E_p$ и остается постоянной.

Формула полной механической энергии: $E = E_k + E_p = \frac{1}{2}mv^2 + mgh = \text{const}$.

Здесь $m$ — масса тележки, $v$ — ее скорость, $h$ — высота над уровнем земли, $g$ — ускорение свободного падения.

Мы можем приравнять полную энергию в начальной точке (на высоте $h_1$) к полной энергии в любой другой точке (на высотах $h_2$ и $h_3$). Масса тележки $m$ при этом сократится.

Скорость тележки в желобе на высоте 2 м

Приравняем энергию в начальной точке (1) и в точке на высоте $h_2$ (2):

$E_1 = E_2$

$\frac{1}{2}mv_1^2 + mgh_1 = \frac{1}{2}mv_2^2 + mgh_2$

Так как начальная скорость $v_1 = 0$, то $\frac{1}{2}mv_1^2 = 0$. После сокращения массы $m$ получаем:

$gh_1 = \frac{1}{2}v_2^2 + gh_2$

Выразим отсюда скорость $v_2$:

$\frac{1}{2}v_2^2 = g(h_1 - h_2)$

$v_2 = \sqrt{2g(h_1 - h_2)}$

Подставим числовые значения:

$v_2 = \sqrt{2 \cdot 9,8 \cdot (20 - 2)} = \sqrt{2 \cdot 9,8 \cdot 18} = \sqrt{352,8} \approx 18,8$ м/с.

Ответ: скорость тележки в желобе на высоте 2 м составляет примерно 18,8 м/с.

Скорость тележки на 15-метровой вершине

Аналогично, приравняем энергию в начальной точке (1) и в точке на высоте $h_3$ (3):

$E_1 = E_3$

$\frac{1}{2}mv_1^2 + mgh_1 = \frac{1}{2}mv_3^2 + mgh_3$

Упрощая, как и в предыдущем случае ($v_1 = 0$ и сокращая массу $m$):

$gh_1 = \frac{1}{2}v_3^2 + gh_3$

Выразим скорость $v_3$:

$\frac{1}{2}v_3^2 = g(h_1 - h_3)$

$v_3 = \sqrt{2g(h_1 - h_3)}$

Подставим числовые значения:

$v_3 = \sqrt{2 \cdot 9,8 \cdot (20 - 15)} = \sqrt{2 \cdot 9,8 \cdot 5} = \sqrt{98} = 7\sqrt{2} \approx 9,9$ м/с.

Ответ: скорость тележки на 15-метровой вершине составляет примерно 9,9 м/с.