Номер 2, страница 223 - гдз по физике 9 класс учебник Закирова, Аширов

2. Найдите энергию связи ядра алюминия $_{13}^{27}Al$.

2. Дано:

Ядро алюминия $_{13}^{27}\text{Al}$

Зарядовое число (число протонов) $Z = 13$

Массовое число (общее число нуклонов) $A = 27$

Число нейтронов $N = A - Z = 27 - 13 = 14$

Масса нейтрального атома водорода $m_H \approx 1,00783 \text{ а.е.м.}$

Масса нейтрона $m_n \approx 1,00866 \text{ а.е.м.}$

Масса нейтрального атома алюминия $m_a(^{27}\text{Al}) \approx 26,98154 \text{ а.е.м.}$

Атомная единица массы (а.е.м.) в кг: $1 \text{ а.е.м.} \approx 1,66054 \cdot 10^{-27} \text{ кг}$

Скорость света в вакууме: $c \approx 2,99792 \cdot 10^8 \text{ м/с}$

Коэффициент для перевода энергии: $1 \text{ МэВ} \approx 1,60218 \cdot 10^{-13} \text{ Дж}$

Найти:

Энергию связи ядра $E_{св}$

Решение:

Энергия связи ядра — это энергия, которая выделяется при образовании ядра из отдельных нуклонов (протонов и нейтронов). Она равна работе, которую необходимо совершить, чтобы разделить ядро на составляющие его нуклоны. Согласно формуле Эйнштейна, энергия связи пропорциональна дефекту масс $\Delta m$:

$E_{св} = \Delta m \cdot c^2$

Дефект масс — это разность между суммарной массой всех нуклонов, составляющих ядро, и реальной массой ядра.

Для удобства расчетов дефект масс можно вычислить, используя массы нейтральных атомов. В этом случае массы электронов, входящих в состав атомов, взаимно сокращаются. Массу $Z$ протонов и $Z$ электронов мы заменяем массой $Z$ атомов водорода $m_H$.

Формула для дефекта масс в таком случае выглядит так:

$\Delta m = (Z \cdot m_H + N \cdot m_n) - m_a(^{27}\text{Al})$

Подставим значения масс в атомных единицах массы (а.е.м.):

$\Delta m = (13 \cdot 1,00783 \text{ а.е.м.} + 14 \cdot 1,00866 \text{ а.е.м.}) - 26,98154 \text{ а.е.м.}$

$\Delta m = (13,10179 \text{ а.е.м.} + 14,12124 \text{ а.е.м.}) - 26,98154 \text{ а.е.м.}$

$\Delta m = 27,22303 \text{ а.е.м.} - 26,98154 \text{ а.е.м.} = 0,24149 \text{ а.е.м.}$

Теперь переведем дефект масс в систему СИ (килограммы):

$\Delta m = 0,24149 \text{ а.е.м.} \cdot 1,66054 \cdot 10^{-27} \frac{\text{кг}}{\text{а.е.м.}} \approx 4,0100 \cdot 10^{-28} \text{ кг}$

Рассчитаем энергию связи в джоулях (СИ):

$E_{св} = \Delta m \cdot c^2 \approx 4,0100 \cdot 10^{-28} \text{ кг} \cdot (2,99792 \cdot 10^8 \text{ м/с})^2$

$E_{св} \approx 4,0100 \cdot 10^{-28} \cdot 8,9875 \cdot 10^{16} \text{ Дж} \approx 3,6040 \cdot 10^{-11} \text{ Дж}$

В ядерной физике энергию связи принято выражать в мегаэлектронвольтах (МэВ). Переведем полученное значение:

$E_{св} = \frac{3,6040 \cdot 10^{-11} \text{ Дж}}{1,60218 \cdot 10^{-13} \text{ Дж/МэВ}} \approx 224,94 \text{ МэВ}$

Также можно использовать более быстрый способ расчета, зная, что 1 а.е.м. эквивалентна $931,5 \text{ МэВ}$:

$E_{св} = \Delta m \cdot 931,5 \frac{\text{МэВ}}{\text{а.е.м.}} = 0,24149 \text{ а.е.м.} \cdot 931,5 \frac{\text{МэВ}}{\text{а.е.м.}} \approx 224,94 \text{ МэВ}$

Результаты совпадают.

Ответ: энергия связи ядра алюминия-27 составляет приблизительно $3,60 \cdot 10^{-11} \text{ Дж}$, или $224,94 \text{ МэВ}$.