Страница 238 - гдз по геометрии 9 класс учебник Солтан, Солтан

5. Найдите неизвестные элементы:

Подпункт 1

Треугольник со сторонами $3$, $x$ и углами $45^\circ$, $60^\circ$.

$x - ?$

Подпункт 2

Треугольник со сторонами $8$, $x$ и углами $15^\circ$, $30^\circ$.

$x - ?$

Подпункт 3

Треугольник со сторонами $5$, $7$, $8$ и углом $\alpha$.

$x - ?$

Подпункт 4

Треугольник со сторонами $3$, $4$ и углом $45^\circ$.

$x - ?$

x - ?

Дано: Треугольник со сторонами $3$ и $x$, и углами $45^\circ$ и $60^\circ$.

Найти: $x$

Решение

1. Найдем третий угол треугольника. Сумма углов в треугольнике равна $180^\circ$.

$\gamma = 180^\circ - 45^\circ - 60^\circ = 75^\circ$.

2. Применим теорему синусов, которая гласит, что отношение стороны к синусу противолежащего угла одинаково для всех сторон и углов треугольника:

$\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B}$

В данном треугольнике сторона $3$ лежит напротив угла $60^\circ$, а сторона $x$ лежит напротив угла $45^\circ$.

Следовательно, можем записать:

$\frac{x}{\sin 45^\circ} = \frac{3}{\sin 60^\circ}$

3. Выразим $x$ из этого уравнения:

$x = 3 \cdot \frac{\sin 45^\circ}{\sin 60^\circ}$

4. Подставим известные значения синусов:

$\sin 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2}$

$\sin 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}$

$x = 3 \cdot \frac{\frac{\sqrt{2}}{2}}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = 3 \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}$

5. Для упрощения выражения умножим числитель и знаменатель на $\sqrt{3}$:

$x = 3 \cdot \frac{\sqrt{2} \cdot \sqrt{3}}{\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}} = 3 \cdot \frac{\sqrt{6}}{3} = \sqrt{6}$

Ответ: $x = \sqrt{6}$

x - ?

Дано: Треугольник со сторонами $8$ и $x$, и углами $15^\circ$ и $30^\circ$.

Найти: $x$

Решение

1. Найдем третий угол треугольника. Сумма углов в треугольнике равна $180^\circ$.

$\gamma = 180^\circ - 15^\circ - 30^\circ = 135^\circ$.

2. Применим теорему синусов:

$\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B}$

В данном треугольнике сторона $8$ лежит напротив угла $135^\circ$, а сторона $x$ лежит напротив угла $30^\circ$.

Следовательно, можем записать:

$\frac{x}{\sin 30^\circ} = \frac{8}{\sin 135^\circ}$

3. Выразим $x$ из этого уравнения:

$x = 8 \cdot \frac{\sin 30^\circ}{\sin 135^\circ}$

4. Подставим известные значения синусов:

$\sin 30^\circ = \frac{1}{2}$

$\sin 135^\circ = \sin(180^\circ - 45^\circ) = \sin 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2}$

$x = 8 \cdot \frac{\frac{1}{2}}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = 8 \cdot \frac{1}{\sqrt{2}}$

5. Для упрощения выражения умножим числитель и знаменатель на $\sqrt{2}$:

$x = 8 \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}} = 8 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 4\sqrt{2}$

Ответ: $x = 4\sqrt{2}$

$\alpha$ - ?

Дано: Треугольник со сторонами $5$, $7$, $8$ и углом $\alpha$.

Найти: $\alpha$

Решение

1. Применим теорему косинусов для нахождения угла $\alpha$. Теорема косинусов имеет вид:

$c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos C$

В данном случае угол $\alpha$ лежит напротив стороны длиной $7$. Пусть $a=5$, $b=8$, $c=7$, а угол $C$ - это $\alpha$.

$7^2 = 5^2 + 8^2 - 2 \cdot 5 \cdot 8 \cos \alpha$

2. Выполним вычисления:

$49 = 25 + 64 - 80 \cos \alpha$

$49 = 89 - 80 \cos \alpha$

3. Выразим $\cos \alpha$ из уравнения:

$80 \cos \alpha = 89 - 49$

$80 \cos \alpha = 40$

$\cos \alpha = \frac{40}{80} = \frac{1}{2}$

4. Найдем значение угла $\alpha$, зная его косинус:

$\alpha = \arccos\left(\frac{1}{2}\right) = 60^\circ$

Ответ: $\alpha = 60^\circ$

x - ?

Дано: Треугольник со сторонами $3$, $4$, $x$ и углом $45^\circ$.

Найти: $x$

Решение

1. По рисунку видно, что угол $45^\circ$ лежит напротив стороны $4$. Стороны, прилежащие к углу $45^\circ$, это $3$ и $x$.

2. Применим теорему косинусов. Если $a$ - сторона, противолежащая углу $A$, а $b$ и $c$ - прилежащие стороны, то:

$a^2 = b^2 + c^2 - 2bc \cos A$

В данном случае $a=4$, $b=3$, $c=x$, а угол $A$ - это $45^\circ$.

$4^2 = 3^2 + x^2 - 2 \cdot 3 \cdot x \cos 45^\circ$

3. Выполним вычисления:

$16 = 9 + x^2 - 6x \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}$

$16 = 9 + x^2 - 3\sqrt{2}x$

4. Перегруппируем члены, чтобы получить квадратное уравнение относительно $x$:

$x^2 - 3\sqrt{2}x + 9 - 16 = 0$

$x^2 - 3\sqrt{2}x - 7 = 0$

5. Решим квадратное уравнение, используя формулу для корней квадратного уравнения $x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$:

$x = \frac{-(-3\sqrt{2}) \pm \sqrt{(-3\sqrt{2})^2 - 4(1)(-7)}}{2(1)}$

$x = \frac{3\sqrt{2} \pm \sqrt{18 + 28}}{2}$

$x = \frac{3\sqrt{2} \pm \sqrt{46}}{2}$

6. Поскольку длина стороны должна быть положительной, выбираем положительный корень:

$x = \frac{3\sqrt{2} + \sqrt{46}}{2}$

Ответ: $x = \frac{3\sqrt{2} + \sqrt{46}}{2}$

7. Найдите площадь заштрихованной части фигуры:

$\triangle ABC$ – правильный, $AB = 4$;

$S - ?$

$ABCD$ – квадрат, $R = 8$;

$S - ?$

$ABCD$ – ромб, $\angle B = 60^\circ$, $AC = 6$;

$S - ?$

$R = 10$, $\sim AB = 60^\circ$;

$S - ?$

1. Верхний левый рисунок

Дано:

Равносторонний треугольник $\triangle ABC$, вписанный в окружность.

Длина стороны треугольника $AB = 4$ (условные единицы длины).

Найти:

Площадь заштрихованной части $S_{заштрихованная}$.

Решение:

1. Заштрихованная часть представляет собой площадь круга за вычетом площади вписанного равностороннего треугольника. Для равностороннего треугольника со стороной $a$, радиус $R$ описанной окружности вычисляется по формуле $R = \frac{a}{\sqrt{3}}$.

В данном случае $a = 4$, поэтому $R = \frac{4}{\sqrt{3}}$.

2. Площадь круга $S_{круг} = \pi R^2$.

$S_{круг} = \pi \left(\frac{4}{\sqrt{3}}\right)^2 = \pi \frac{16}{3}$.

3. Площадь равностороннего треугольника $S_{треугольник}$ со стороной $a$ вычисляется по формуле $S_{треугольник} = \frac{a^2 \sqrt{3}}{4}$.

$S_{треугольник} = \frac{4^2 \sqrt{3}}{4} = \frac{16 \sqrt{3}}{4} = 4\sqrt{3}$.

4. Площадь заштрихованной части $S_{заштрихованная} = S_{круг} - S_{треугольник}$.

$S_{заштрихованная} = \frac{16\pi}{3} - 4\sqrt{3}$.

Ответ: $S_{заштрихованная} = \frac{16\pi}{3} - 4\sqrt{3}$.

2. Верхний правый рисунок

Дано:

Квадрат $ABCD$, вписанный в окружность.

Радиус описанной окружности $R = 8$ (условные единицы длины).

Найти:

Площадь заштрихованной части $S_{заштрихованная}$.

Решение:

1. Заштрихованная часть представляет собой площадь круга за вычетом площади вписанного квадрата. Для квадрата, вписанного в окружность, диагональ квадрата $d$ равна диаметру окружности $2R$.

$d = 2R = 2 \times 8 = 16$.

2. Сторона квадрата $a$ связана с его диагональю соотношением $d = a\sqrt{2}$. Следовательно, $a = \frac{d}{\sqrt{2}}$.

Площадь квадрата $S_{квадрат} = a^2 = \left(\frac{d}{\sqrt{2}}\right)^2 = \frac{d^2}{2}$.

$S_{квадрат} = \frac{16^2}{2} = \frac{256}{2} = 128$.

3. Площадь круга $S_{круг} = \pi R^2$.

$S_{круг} = \pi (8^2) = 64\pi$.

4. Площадь заштрихованной части $S_{заштрихованная} = S_{круг} - S_{квадрат}$.

$S_{заштрихованная} = 64\pi - 128$.

Ответ: $S_{заштрихованная} = 64\pi - 128$.

3. Нижний левый рисунок

Дано:

Ромб $ABCD$.

Угол ромба $\angle B = 60^\circ$.

Длина диагонали $AC = 6$ (условные единицы длины).

Найти:

Площадь заштрихованной части $S_{заштрихованная}$.

Решение:

1. Заштрихованная часть представляет собой площадь ромба за вычетом площади вписанной окружности. В ромбе все стороны равны. Рассмотрим треугольник $\triangle ABC$. Так как $AB=BC$ (стороны ромба) и $\angle B = 60^\circ$, то $\triangle ABC$ является равносторонним треугольником.

Следовательно, сторона ромба $a = AC = 6$.

2. Площадь ромба $S_{ромб}$ вычисляется по формуле $S_{ромб} = a^2 \sin(\angle B)$.

$S_{ромб} = 6^2 \sin(60^\circ) = 36 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 18\sqrt{3}$.

3. Радиус $r$ вписанной окружности в ромб равен половине высоты ромба $h$. Высота ромба $h = a \sin(\angle B)$.

$h = 6 \sin(60^\circ) = 6 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 3\sqrt{3}$.

Радиус вписанной окружности $r = \frac{h}{2} = \frac{3\sqrt{3}}{2}$.

4. Площадь вписанной окружности $S_{круг} = \pi r^2$.

$S_{круг} = \pi \left(\frac{3\sqrt{3}}{2}\right)^2 = \pi \frac{9 \cdot 3}{4} = \frac{27\pi}{4}$.

5. Площадь заштрихованной части $S_{заштрихованная} = S_{ромб} - S_{круг}$.

$S_{заштрихованная} = 18\sqrt{3} - \frac{27\pi}{4}$.

Ответ: $S_{заштрихованная} = 18\sqrt{3} - \frac{27\pi}{4}$.

4. Нижний правый рисунок

Дано:

Круг.

Радиус круга $R = 10$ (условные единицы длины).

Угол незаштрихованного сектора (указанный как $60^\circ$ внутри фигуры "V") $\alpha = 60^\circ$.

Найти:

Площадь заштрихованной части $S_{заштрихованная}$.

Решение:

1. Заштрихованная часть представляет собой площадь круга за вычетом площади незаштрихованного сектора. Принимая $60^\circ$ за центральный угол незаштрихованного сектора.

2. Площадь круга $S_{круг} = \pi R^2$.

$S_{круг} = \pi (10^2) = 100\pi$.

3. Площадь незаштрихованного сектора $S_{сектор}$ вычисляется по формуле $S_{сектор} = \frac{\alpha}{360^\circ} \pi R^2$, где $\alpha$ - центральный угол сектора.

$S_{сектор} = \frac{60^\circ}{360^\circ} \pi (10^2) = \frac{1}{6} \cdot 100\pi = \frac{50\pi}{3}$.

4. Площадь заштрихованной части $S_{заштрихованная} = S_{круг} - S_{сектор}$.

$S_{заштрихованная} = 100\pi - \frac{50\pi}{3} = \frac{300\pi - 50\pi}{3} = \frac{250\pi}{3}$.

Ответ: $S_{заштрихованная} = \frac{250\pi}{3}$.