Страница 237 - гдз по геометрии 9 класс учебник Солтан, Солтан

2. Найдите координаты векторов, если A(2; 4), B(1; -3), C(5; 2), D(-4; 0):

$\vec{AB}$

$\vec{DA}$

$\vec{BD} + \vec{CA}$

$-3\vec{AC}$

$2\vec{BA} + 3\vec{DC}$

$\vec{DB}$

$\vec{CD}$

$\vec{AB} - \vec{DC}$

$1.5\vec{BC}$

$0.5\vec{AC} - 4\vec{DB}$

Дано

Координаты точек: $A(2; 4)$, $B(1; -3)$, $C(5; 2)$, $D(-4; 0)$.

Найти:

Координаты векторов: $\vec{AB}$, $\vec{DA}$, $\vec{BD} + \vec{CA}$, $-3\vec{AC}$, $2\vec{BA} + 3\vec{DC}$, $\vec{DB}$, $\vec{CD}$, $\vec{AB} - \vec{DC}$, $1.5\vec{BC}$, $0.5\vec{AC} - 4\vec{DB}$.

Решение

Для нахождения координат вектора $\vec{XY}$ по координатам точек $X(x_X; y_X)$ и $Y(x_Y; y_Y)$ используется формула $\vec{XY} = (x_Y - x_X; y_Y - y_X)$.

Для сложения векторов $\vec{a}(x_a; y_a)$ и $\vec{b}(x_b; y_b)$ используется формула $\vec{a} + \vec{b} = (x_a + x_b; y_a + y_b)$.

Для вычитания векторов $\vec{a}(x_a; y_a)$ и $\vec{b}(x_b; y_b)$ используется формула $\vec{a} - \vec{b} = (x_a - x_b; y_a - y_b)$.

Для умножения вектора $\vec{a}(x_a; y_a)$ на скаляр $k$ используется формула $k\vec{a} = (k \cdot x_a; k \cdot y_a)$.

$\vec{AB}$

Координаты точек $A(2; 4)$ и $B(1; -3)$.

$\vec{AB} = (x_B - x_A; y_B - y_A) = (1 - 2; -3 - 4) = (-1; -7)$.

Ответ: $(-1; -7)$

$\vec{DA}$

Координаты точек $D(-4; 0)$ и $A(2; 4)$.

$\vec{DA} = (x_A - x_D; y_A - y_D) = (2 - (-4); 4 - 0) = (2 + 4; 4) = (6; 4)$.

Ответ: $(6; 4)$

$\vec{BD} + \vec{CA}$

Найдем координаты вектора $\vec{BD}$: точки $B(1; -3)$ и $D(-4; 0)$.

$\vec{BD} = (x_D - x_B; y_D - y_B) = (-4 - 1; 0 - (-3)) = (-5; 3)$.

Найдем координаты вектора $\vec{CA}$: точки $C(5; 2)$ и $A(2; 4)$.

$\vec{CA} = (x_A - x_C; y_A - y_C) = (2 - 5; 4 - 2) = (-3; 2)$.

Сложим векторы:

$\vec{BD} + \vec{CA} = (-5 + (-3); 3 + 2) = (-8; 5)$.

Ответ: $(-8; 5)$

$-3\vec{AC}$

Найдем координаты вектора $\vec{AC}$: точки $A(2; 4)$ и $C(5; 2)$.

$\vec{AC} = (x_C - x_A; y_C - y_A) = (5 - 2; 2 - 4) = (3; -2)$.

Умножим вектор на скаляр $-3$:

$-3\vec{AC} = (-3 \cdot 3; -3 \cdot (-2)) = (-9; 6)$.

Ответ: $(-9; 6)$

$2\vec{BA} + 3\vec{DC}$

Найдем координаты вектора $\vec{BA}$: точки $B(1; -3)$ и $A(2; 4)$.

$\vec{BA} = (x_A - x_B; y_A - y_B) = (2 - 1; 4 - (-3)) = (1; 7)$.

Умножим $\vec{BA}$ на $2$:

$2\vec{BA} = (2 \cdot 1; 2 \cdot 7) = (2; 14)$.

Найдем координаты вектора $\vec{DC}$: точки $D(-4; 0)$ и $C(5; 2)$.

$\vec{DC} = (x_C - x_D; y_C - y_D) = (5 - (-4); 2 - 0) = (5 + 4; 2) = (9; 2)$.

Умножим $\vec{DC}$ на $3$:

$3\vec{DC} = (3 \cdot 9; 3 \cdot 2) = (27; 6)$.

Сложим полученные векторы:

$2\vec{BA} + 3\vec{DC} = (2 + 27; 14 + 6) = (29; 20)$.

Ответ: $(29; 20)$

$\vec{DB}$

Координаты точек $D(-4; 0)$ и $B(1; -3)$.

$\vec{DB} = (x_B - x_D; y_B - y_D) = (1 - (-4); -3 - 0) = (1 + 4; -3) = (5; -3)$.

Ответ: $(5; -3)$

$\vec{CD}$

Координаты точек $C(5; 2)$ и $D(-4; 0)$.

$\vec{CD} = (x_D - x_C; y_D - y_C) = (-4 - 5; 0 - 2) = (-9; -2)$.

Ответ: $(-9; -2)$

$\vec{AB} - \vec{DC}$

Из предыдущих расчетов знаем: $\vec{AB} = (-1; -7)$ и $\vec{DC} = (9; 2)$.

Вычтем векторы:

$\vec{AB} - \vec{DC} = (-1 - 9; -7 - 2) = (-10; -9)$.

Ответ: $(-10; -9)$

$1.5\vec{BC}$

Найдем координаты вектора $\vec{BC}$: точки $B(1; -3)$ и $C(5; 2)$.

$\vec{BC} = (x_C - x_B; y_C - y_B) = (5 - 1; 2 - (-3)) = (4; 5)$.

Умножим вектор на скаляр $1.5$:

$1.5\vec{BC} = (1.5 \cdot 4; 1.5 \cdot 5) = (6; 7.5)$.

Ответ: $(6; 7.5)$

$0.5\vec{AC} - 4\vec{DB}$

Из предыдущих расчетов знаем: $\vec{AC} = (3; -2)$ и $\vec{DB} = (5; -3)$.

Умножим $\vec{AC}$ на $0.5$:

$0.5\vec{AC} = (0.5 \cdot 3; 0.5 \cdot (-2)) = (1.5; -1)$.

Умножим $\vec{DB}$ на $4$:

$4\vec{DB} = (4 \cdot 5; 4 \cdot (-3)) = (20; -12)$.

Вычтем полученные векторы:

$0.5\vec{AC} - 4\vec{DB} = (1.5 - 20; -1 - (-12)) = (1.5 - 20; -1 + 12) = (-18.5; 11)$.

Ответ: $(-18.5; 11)$

3. Постройте в тетради композицию движений, состоящую из:

1) симметрии относительно прямой $Oy$;

2) параллельного переноса на вектор $\vec{a}(-3; -2)$;

3) поворота на $90^\circ$ по часовой стрелке.

1) симметрии относительно прямой $Ox$;

2) симметрии относительно точки $O$;

3) поворота на $90^\circ$ против часовой стрелки.

1) симметрии относительно прямой Oy;

Дано:

Начальные координаты вершин трапеции: $A(-5, 2)$, $B(-3, 6)$, $C(1, 6)$, $D(-1, 2)$.
Композиция движений:

1. Симметрия относительно прямой Oy.
2. Параллельный перенос на вектор $\vec{a}(-3; -2)$.
3. Поворот на $90^\circ$ по часовой стрелке относительно начала координат.

Найти:

Координаты вершин трапеции после выполнения всех последовательных преобразований.

Решение:

1. Выполним симметрию относительно прямой Oy.
Правило преобразования координат: $(x, y) \rightarrow (-x, y)$.
$A(-5, 2) \rightarrow A'(5, 2)$
$B(-3, 6) \rightarrow B'(3, 6)$
$C(1, 6) \rightarrow C'(-1, 6)$
$D(-1, 2) \rightarrow D'(1, 2)$

2. Выполним параллельный перенос на вектор $\vec{a}(-3; -2)$.
Правило преобразования координат: $(x', y') \rightarrow (x' + (-3), y' + (-2))$.
$A'(5, 2) \rightarrow A''(5 - 3, 2 - 2) = A''(2, 0)$
$B'(3, 6) \rightarrow B''(3 - 3, 6 - 2) = B''(0, 4)$
$C'(-1, 6) \rightarrow C''(-1 - 3, 6 - 2) = C''(-4, 4)$
$D'(1, 2) \rightarrow D''(1 - 3, 2 - 2) = D''(-2, 0)$

3. Выполним поворот на $90^\circ$ по часовой стрелке относительно начала координат.
Правило преобразования координат: $(x'', y'') \rightarrow (y'', -x'')$.
$A''(2, 0) \rightarrow A'''(0, -2)$
$B''(0, 4) \rightarrow B'''(4, -0) = B'''(4, 0)$
$C''(-4, 4) \rightarrow C'''(4, -(-4)) = C'''(4, 4)$
$D''(-2, 0) \rightarrow D'''(0, -(-2)) = D'''(0, 2)$

Ответ: Координаты вершин трапеции после всех преобразований: $A'''(0, -2)$, $B'''(4, 0)$, $C'''(4, 4)$, $D'''(0, 2)$.

1) симметрии относительно прямой Ox;

Дано:

Начальные координаты вершин треугольника: $A(2, 2)$, $B(4, 5)$, $C(6, 2)$.
Композиция движений:

1. Симметрия относительно прямой Ox.
2. Симметрия относительно точки O (начала координат).
3. Поворот на $90^\circ$ против часовой стрелки относительно начала координат.

Найти:

Координаты вершин треугольника после выполнения всех последовательных преобразований.

Решение:

1. Выполним симметрию относительно прямой Ox.
Правило преобразования координат: $(x, y) \rightarrow (x, -y)$.
$A(2, 2) \rightarrow A'(2, -2)$
$B(4, 5) \rightarrow B'(4, -5)$
$C(6, 2) \rightarrow C'(6, -2)$

2. Выполним симметрию относительно точки O (начала координат).
Правило преобразования координат: $(x', y') \rightarrow (-x', -y')$.
$A'(2, -2) \rightarrow A''(-2, -(-2)) = A''(-2, 2)$
$B'(4, -5) \rightarrow B''(-4, -(-5)) = B''(-4, 5)$
$C'(6, -2) \rightarrow C''(-6, -(-2)) = C''(-6, 2)$

3. Выполним поворот на $90^\circ$ против часовой стрелки относительно начала координат.
Правило преобразования координат: $(x'', y'') \rightarrow (-y'', x'')$.
$A''(-2, 2) \rightarrow A'''(-2, -2)$
$B''(-4, 5) \rightarrow B'''(-5, -4)$
$C''(-6, 2) \rightarrow C'''(-2, -6)$

Ответ: Координаты вершин треугольника после всех преобразований: $A'''(-2, -2)$, $B'''(-5, -4)$, $C'''(-2, -6)$.

4. Постройте фигуру, гомотетичную данной, если:

центр гомотетии – точка O,
коэффициент гомотетии $k = 2$

центр гомотетии – точка B,
коэффициент гомотетии $k = -2$

центр гомотетии – точка O, коэффициент гомотетии k = 2

Дано:

Исходная фигура: треугольник ABC.

Координаты вершин:
A(-4, -2)
B(2, 4)
C(2, -1)

Центр гомотетии: O(0, 0)

Коэффициент гомотетии: $k = 2$

Найти:

Координаты вершин A', B', C' гомотетичного треугольника A'B'C'.

Решение:

Для гомотетии с центром в начале координат O(0,0) и коэффициентом $k$, координаты образа точки $(x, y)$ вычисляются по формулам:
$x' = kx$
$y' = ky$

Применим эти формулы к каждой вершине треугольника ABC:

Для вершины A(-4, -2):
$x_A' = 2 \cdot (-4) = -8$
$y_A' = 2 \cdot (-2) = -4$
Таким образом, A'(-8, -4).

Для вершины B(2, 4):
$x_B' = 2 \cdot 2 = 4$
$y_B' = 2 \cdot 4 = 8$
Таким образом, B'(4, 8).

Для вершины C(2, -1):
$x_C' = 2 \cdot 2 = 4$
$y_C' = 2 \cdot (-1) = -2$
Таким образом, C'(4, -2).

Ответ:

Координаты вершин гомотетичного треугольника A'B'C' составляют:
A'(-8, -4)
B'(4, 8)
C'(4, -2)

центр гомотетии – точка B, коэффициент гомотетии k = -2

Дано:

Исходная фигура: четырехугольник ABCD.

Координаты вершин:
A(0, 4)
B(2, 1)
C(0, -2)
D(-2, 1)

Центр гомотетии: P(2, 1) (совпадает с вершиной B)

Коэффициент гомотетии: $k = -2$

Найти:

Координаты вершин A', B', C', D' гомотетичного четырехугольника A'B'C'D'.

Решение:

Для гомотетии с центром в точке P($x_p, y_p$) и коэффициентом $k$, координаты образа точки $(x, y)$ вычисляются по формулам:
$x' = x_p + k(x - x_p)$
$y' = y_p + k(y - y_p)$

В данном случае центр гомотетии P - это точка B(2, 1).

Применим эти формулы к каждой вершине четырехугольника ABCD:

Для вершины A(0, 4):
$x_A' = 2 + (-2)(0 - 2) = 2 + (-2)(-2) = 2 + 4 = 6$
$y_A' = 1 + (-2)(4 - 1) = 1 + (-2)(3) = 1 - 6 = -5$
Таким образом, A'(6, -5).

Для вершины B(2, 1):
Так как B является центром гомотетии, её образ B' совпадает с B.
$x_B' = 2 + (-2)(2 - 2) = 2 + 0 = 2$
$y_B' = 1 + (-2)(1 - 1) = 1 + 0 = 1$
Таким образом, B'(2, 1).

Для вершины C(0, -2):
$x_C' = 2 + (-2)(0 - 2) = 2 + (-2)(-2) = 2 + 4 = 6$
$y_C' = 1 + (-2)(-2 - 1) = 1 + (-2)(-3) = 1 + 6 = 7$
Таким образом, C'(6, 7).

Для вершины D(-2, 1):
$x_D' = 2 + (-2)(-2 - 2) = 2 + (-2)(-4) = 2 + 8 = 10$
$y_D' = 1 + (-2)(1 - 1) = 1 + (-2)(0) = 1 + 0 = 1$
Таким образом, D'(10, 1).

Ответ:

Координаты вершин гомотетичного четырехугольника A'B'C'D' составляют:
A'(6, -5)
B'(2, 1)
C'(6, 7)
D'(10, 1)