Номер 2, страница 237 - гдз по геометрии 9 класс учебник Солтан, Солтан

2. Найдите координаты векторов, если A(2; 4), B(1; -3), C(5; 2), D(-4; 0):

$\vec{AB}$

$\vec{DA}$

$\vec{BD} + \vec{CA}$

$-3\vec{AC}$

$2\vec{BA} + 3\vec{DC}$

$\vec{DB}$

$\vec{CD}$

$\vec{AB} - \vec{DC}$

$1.5\vec{BC}$

$0.5\vec{AC} - 4\vec{DB}$

Дано

Координаты точек: $A(2; 4)$, $B(1; -3)$, $C(5; 2)$, $D(-4; 0)$.

Найти:

Координаты векторов: $\vec{AB}$, $\vec{DA}$, $\vec{BD} + \vec{CA}$, $-3\vec{AC}$, $2\vec{BA} + 3\vec{DC}$, $\vec{DB}$, $\vec{CD}$, $\vec{AB} - \vec{DC}$, $1.5\vec{BC}$, $0.5\vec{AC} - 4\vec{DB}$.

Решение

Для нахождения координат вектора $\vec{XY}$ по координатам точек $X(x_X; y_X)$ и $Y(x_Y; y_Y)$ используется формула $\vec{XY} = (x_Y - x_X; y_Y - y_X)$.

Для сложения векторов $\vec{a}(x_a; y_a)$ и $\vec{b}(x_b; y_b)$ используется формула $\vec{a} + \vec{b} = (x_a + x_b; y_a + y_b)$.

Для вычитания векторов $\vec{a}(x_a; y_a)$ и $\vec{b}(x_b; y_b)$ используется формула $\vec{a} - \vec{b} = (x_a - x_b; y_a - y_b)$.

Для умножения вектора $\vec{a}(x_a; y_a)$ на скаляр $k$ используется формула $k\vec{a} = (k \cdot x_a; k \cdot y_a)$.

$\vec{AB}$

Координаты точек $A(2; 4)$ и $B(1; -3)$.

$\vec{AB} = (x_B - x_A; y_B - y_A) = (1 - 2; -3 - 4) = (-1; -7)$.

Ответ: $(-1; -7)$

$\vec{DA}$

Координаты точек $D(-4; 0)$ и $A(2; 4)$.

$\vec{DA} = (x_A - x_D; y_A - y_D) = (2 - (-4); 4 - 0) = (2 + 4; 4) = (6; 4)$.

Ответ: $(6; 4)$

$\vec{BD} + \vec{CA}$

Найдем координаты вектора $\vec{BD}$: точки $B(1; -3)$ и $D(-4; 0)$.

$\vec{BD} = (x_D - x_B; y_D - y_B) = (-4 - 1; 0 - (-3)) = (-5; 3)$.

Найдем координаты вектора $\vec{CA}$: точки $C(5; 2)$ и $A(2; 4)$.

$\vec{CA} = (x_A - x_C; y_A - y_C) = (2 - 5; 4 - 2) = (-3; 2)$.

Сложим векторы:

$\vec{BD} + \vec{CA} = (-5 + (-3); 3 + 2) = (-8; 5)$.

Ответ: $(-8; 5)$

$-3\vec{AC}$

Найдем координаты вектора $\vec{AC}$: точки $A(2; 4)$ и $C(5; 2)$.

$\vec{AC} = (x_C - x_A; y_C - y_A) = (5 - 2; 2 - 4) = (3; -2)$.

Умножим вектор на скаляр $-3$:

$-3\vec{AC} = (-3 \cdot 3; -3 \cdot (-2)) = (-9; 6)$.

Ответ: $(-9; 6)$

$2\vec{BA} + 3\vec{DC}$

Найдем координаты вектора $\vec{BA}$: точки $B(1; -3)$ и $A(2; 4)$.

$\vec{BA} = (x_A - x_B; y_A - y_B) = (2 - 1; 4 - (-3)) = (1; 7)$.

Умножим $\vec{BA}$ на $2$:

$2\vec{BA} = (2 \cdot 1; 2 \cdot 7) = (2; 14)$.

Найдем координаты вектора $\vec{DC}$: точки $D(-4; 0)$ и $C(5; 2)$.

$\vec{DC} = (x_C - x_D; y_C - y_D) = (5 - (-4); 2 - 0) = (5 + 4; 2) = (9; 2)$.

Умножим $\vec{DC}$ на $3$:

$3\vec{DC} = (3 \cdot 9; 3 \cdot 2) = (27; 6)$.

Сложим полученные векторы:

$2\vec{BA} + 3\vec{DC} = (2 + 27; 14 + 6) = (29; 20)$.

Ответ: $(29; 20)$

$\vec{DB}$

Координаты точек $D(-4; 0)$ и $B(1; -3)$.

$\vec{DB} = (x_B - x_D; y_B - y_D) = (1 - (-4); -3 - 0) = (1 + 4; -3) = (5; -3)$.

Ответ: $(5; -3)$

$\vec{CD}$

Координаты точек $C(5; 2)$ и $D(-4; 0)$.

$\vec{CD} = (x_D - x_C; y_D - y_C) = (-4 - 5; 0 - 2) = (-9; -2)$.

Ответ: $(-9; -2)$

$\vec{AB} - \vec{DC}$

Из предыдущих расчетов знаем: $\vec{AB} = (-1; -7)$ и $\vec{DC} = (9; 2)$.

Вычтем векторы:

$\vec{AB} - \vec{DC} = (-1 - 9; -7 - 2) = (-10; -9)$.

Ответ: $(-10; -9)$

$1.5\vec{BC}$

Найдем координаты вектора $\vec{BC}$: точки $B(1; -3)$ и $C(5; 2)$.

$\vec{BC} = (x_C - x_B; y_C - y_B) = (5 - 1; 2 - (-3)) = (4; 5)$.

Умножим вектор на скаляр $1.5$:

$1.5\vec{BC} = (1.5 \cdot 4; 1.5 \cdot 5) = (6; 7.5)$.

Ответ: $(6; 7.5)$

$0.5\vec{AC} - 4\vec{DB}$

Из предыдущих расчетов знаем: $\vec{AC} = (3; -2)$ и $\vec{DB} = (5; -3)$.

Умножим $\vec{AC}$ на $0.5$:

$0.5\vec{AC} = (0.5 \cdot 3; 0.5 \cdot (-2)) = (1.5; -1)$.

Умножим $\vec{DB}$ на $4$:

$4\vec{DB} = (4 \cdot 5; 4 \cdot (-3)) = (20; -12)$.

Вычтем полученные векторы:

$0.5\vec{AC} - 4\vec{DB} = (1.5 - 20; -1 - (-12)) = (1.5 - 20; -1 + 12) = (-18.5; 11)$.

Ответ: $(-18.5; 11)$